מקפיצים כדורים

אתמול הייתי בהשתלמות של תוכנית מיצוי ומצוינות לכיתה ז' לפי התוכנית החדשה. בחלק של המצוינות המרצה החליטה לעשות לנו תחרות חידות. היא חילקה אותנו לקבוצות נתנה לכל קבוצות שאלה ומקבלים את השאלה הבאה רק אחרי שמסיימים את השאלה הקודמת. אז אומנם אני מכיר אנשים שטובים ממני בחידות ואומנם אני לא חושב שחידות זה החלק החזק שלי אלא יותר פורמליות אבל מה שהיה שם זה טבח.
למרות שהייתה משתתפת בקבוצה שניסתה לעכב אותנו ("רגע, אני רוצה להבין") פתרנו (על מי אני עובד – פתרתי) פי שתיים יותר חידות מהקבוצה שבמקום השני. המדריכה הייתה די בשוק ואמרה שאני בטח לא מורה כי יש לי חשיבה שונה והמורה שהייתה איתי (המור שהחלפתי והיא גם הרכזת של מתמטיקה בשכבה ז') אמרה שאני פשוט חייב ללמד מצוינות. בקיצור כוכב ליום אחד (למעשה שעתיים).
אז למרות שיכול להיות נחמד ללמד מצוינות כי הילדים חכמים ושקטים ובכלל לא צריך להתאמץ כדי ללמד אותם (פשוט מסבירים והם מבינים) אני עדיין מעדיף ללמד את התלמידים הממוצעים, בערך בין אחוזון 20 ל 80. וגם אם מלמדים את המצוינים אז חידות זה לא לימוד.
אם לא רוצים להתקדם יותר מדי אלא להרחיב ולהעמיק אז אפשר לדוש איתם על משמעות הדברים, למשל עם הכיתה לומדת סדר פעולות חשבון אז כיתת המצוינות יכולה ללמוד על ניתוח משפט מתמטי (פארסינג בלעז) או על טיפוסים למשל שכאשר אני מחבר שני מספרים הם מייצגים את אותו הטיפוס – תפוחים, אבל כאשר אני מכפיל אז למעשה אני מכפיל את מספר התפוחים בארגז כפול מספר ארגזים, יחידות שמצטמצמות ודברים כאלה.
לפתור חידות זה כמו שחקני כדורגל שיודעים להקפיץ כדור על הרגל יפה אבל כדי לנצח במשחק צריך יכולות אחרות של הבנת משחק, סדר ומשמעת ומשחק קבוצתי.

אבל למה?

חזרתי בשלום מהטיול השנתי והיה פחות נורא ממה שחשבתי. אולי זה בזכות התנאים המועדפים של המורים (חדר, מיטה ומקלחת פרטית במקום אוהל, שק שינה ומקלחת משותפת), אולי בגלל העובדה שכאשר אתה מורה זה לגיטימי לא להיות אחד מהחבר'ה ואולי בגלל שהסיפורים המטומטמים של המדריכים פשוט משעשעים ולא מרגיזים. בקיצור, תחושה טובה של חיצוניות לכל החוויה הזו.
בגדול המוטו של הטיול השנתי הוא שטיפת מוח מאוד משונה. כל הזמן מדברים עם הילדים על החיות, מארג החיים והצמחייה ומסביבנו רק חול וחול ובכלל "אתם אולי לא רואים את זה אבל בעצם מאוד יפה כאן". אחד הילדים אמר: "מה כל-כך יפה, זה נוף של חול". בור ועם הארץ. הוא לא מבין שזה יפה. זו ההגדרה. ארץ ישראל יפה. נקודה. זו אקסיומה.
בכלל הגישה הלימודית לטיול מאוד מעניינת, בשיחה שהייתה לי עם אחת המדריכות שאלתי אותה אם היא מדריכה גם מבוגרים והיא אמרה שלא, כי כדי להדריך מבוגרים צריך לעבור קורס של מורי דרך, שזה קורס של שנה וחצי ואילו כדי להדריך בתי-ספר זה קורס של שלושה ארבעה חודשים. אתה מבין, מבוגרים משלמים כסף בשביל הטיול והם באמת רוצים לדעת דברים ואילו לילדים זה לא ממש משנה אפשר לספר להם כל מיני סיפורים ולא חייבים לענות על השאלות שלהם ברצינות. שלא תבינו אותי לא נכון, היו גם מדריכים טובים עם ידע שענו יפה מאוד על השאלות של התלמידים אבל הרוב לא.
התלמידים מבחינתם בכלל לא מבינים למה צריך את הסיוט הזה, ללכת בחום הזה, בתוך הנוף המשעמם לעלות עליות קשות עם התיק הכבד ועוד צריך לסחוב ג'ריקנים. איזה חרא. וכאשר הם שואלים "למה בכלל צריך את זה?" פשוט אין תשובה, התעלמות מוחלטת.
אבל רגע, זה גם מה שקורה עם מתמטיקה, לא? הילדים לא מבינים למה צריך את זה ואנחנו מתעלמים מהשאלה שהרי אנחנו יודעים טוב יותר. אז על מה אני מלין? ובכן, אני כן יודע למה לומדים מתמטיקה ולמה יוצאים לטיול השנתי. טיול שנתי הוא תופעה ישראלית מיוחדת עם מטרה אחת ויחידה – חיילים טובים.
יש לטיול השנתי שתי דרכים להשיג את המטרה הזו. דבר ראשון שטיפת מוח לאומנית: אקסיומת ארץ ישראל יפה, כיבוש הארץ בטיולים, אנחנו למעשה סובלים למען ארץ ישראל. ומצד שני, לא פחות חשוב ואולי אפילו יותר – ביטול האינדיבידואל. השינה המשותפת, המקלחות המשותפות ועצימת העיניים שמתירה לחבר'ה להתעלל באינדיבידואלים. אז אני מתלונן לא בגלל שאני לא יודע למה צריך טיולים שנתיים, אלא בגלל שאני כן יודע.

להגיש את הטרופית השניה

אני מבטיח עוד פוסט רציני על הטיול אבל הנה אנקדוטה קטנה שאני רוצה לשתף אתכם.
לקראת סוף המסלול ביום השני חילקו לילדים טרופיות וופל, ילד אחד הסליק שתי טרופיות ושני וופלים (למרות שאח"כ חילקו טרופית נוספת למי שרצה עד שנגמר) הבעיות התחילו כאשר הוא ניסה להכניס את הקשית המשומשת לשקית החדשה – בעודו מנסה, ילד אחר אומר לו "טיפש! למה אתה לא לוקח תנופה ופשוט נועץ אותה", "מפגר, ככה ישפריץ עלי", "אשכנזי אחד! (שהרי אי אפשר לפנות לילד אחד בלי קללה) אני ככה מכניס תמיד ואף פעם לא משפריץ עלי", "עזוב אותי יא הומו".
טוב, ניסה, ניסה וניסה עד שהקשית התעקמה. ובינתיים אין יותר קשיות וגם הטרופיות נגמרו. וכך יש לנו ילד עם טרופית בלי קשית וילד אחר עם קשית אבל בלי טרופית... הילד עם הקשית פונה אל הילד עם הטרופית "בוא'נה יא-טיפש, אולי תתן לי את הטרופית, ממילא אתה לא יכול לשתות אותה", הילד עם הטרופית באופן מפתיע לא כל-כך נאות לבקשה המיוחדת הזו וסרב. בינתיים הוא השיג עוד שלושה ארבעה וופלים.
למרות ההסלמה בבקשות (טיפש, דפוק, הומו, טיפש, מפגר, טיפש) הילד עם הטרופית עדיין עומד בסירובו לתת את הטרופית. מפתיע. ואז הוא הולך על תרגיל, מנפח טרופית ריקה ומגיש לילד עם הקשית. הילד עם הקשית מתלהב אבל מהר מאוד מגלה שנפל למהתלה. ואז נכנסתי לתמונה.
"לא יפה"
"למה? נתתי לו שקית ריקה, היה מצחיק"
"אבל אתה יודע שהוא רוצה את הטרופית, למה להתגרות"
"אבל למה לי לתת לו את הטרופית"
"מי יודע, אולי מתישהו תרצה גם משהו ממנו"
הילד עם הטרופית פשוט נתן לילד עם הקשית את הטרופית. הפתעה. (עם הבנות שלי זה לא הולך כל-כך חלק). הילד עם הקשית נעץ את הקשית בתנועה חדה בטרופית ואמר "רואה טיפש – ככה עושים את זה". "ומה אומרים?" שאלתי. "תודה".
מאותו הרגע ועד סוף המסלול שני הילדים הלכו יחד והיו חברים טובים.
ככה. בקטנה.

על זה לא חשבתי

מחר אני יוצא לטיול שנתי.
מכל השיקולים שבעולם זה היה צריך להיות השיקול המרכזי מבחינתי לא לעשות את ההסבה המקצועית הזו. אני שונא טיולים שנתיים. הם צרובים אצלי כסיוט ארוך ומתמשך, כחלק ממסכת העינויים שעברתי בדרך להכשרה שלי כחייל.
צעדות שלא נגמרות בנגב, סיפורים מטופשים על צמחים שנראים כמו עשבים מיותרים, לישון בשק שינה מחורבן, הווי דוחה והתקווה שהנסיעה באוטובוס לא תיגמר לעולם. בקיצור – סיוט.
ועכשיו זה חוזר אלי. למה אני בכלל צריך את החרא הזה? בסה"כ רציתי ללמד מתמטיקה...
טוב, כמורה יהיו לנו חדרים ונישן במיטות אבל נצטרך לשמור בלילה ובמקלחות ובכלל להיות מבוגר אחראי... איך לא חשבתי על הנקודה המטופשת הזו.
בקיצור, להתראות עוד שלושה ימים.

בוחן עמוס

לא יודע מה יש בכיתה ח' הזו אבל הם מיוחדים והכוונה היא לא של חינוך מיוחד אלא באמת מיוחדים לטוב ולרע – ממש לא משעמם אצלם.
אתם בוודאי שואלים את עצמכם למה אתמול לא כתבתי שום פוסט, ובכן, אתמול לימדתי רק שלוש שעות ומהם שעתיים היו בחנים לכיתה ח' ובוחן חוזר לט'. לכאורה יום קל בעבודה אבל הבוחן של כיתה ח' פשוט גמר אותי. למה? ובכן... מה היה שם:
ילד שעד עכשיו תמיד ישב בלי מחברת וכלי כתיבה ולא התרכז בשיעור וכאשר אמרתי לו להעתיק מהלוח הוא אמר שהוא מבין ולא בא לו – וכאשר הוא קיבל את הבוחן הוא החזיר לי אותו ריק כי אין לו מושג. דווקא ילד שעושה רושם של ילד אינטילגנטי.
שתי בנות שקטות וחמודות שתמיד מגיעות בזמן, תמיד לומדות ברצינות שאמרו לי לפני הבוחן שהן לא מבינות את נושא הקטעים הוציאו 100 עגול...
הילד שנהנה מהלימודים פתאום מגיע לבוחן מלא חששות ובקושי מגרד את ה 50 כאשר הוא לא עושה שתי שאלות שדי ברור לי שהוא יודע את התשובות לפי ההשתתפות בכיתה. בעקבות הבוחן שלחתי מייל לאמו ואמרתי שחייבים ללמד את הילד לגשת למבחן, שהרי לפי הידיעות הוא שווה לפחות 90 אבל הוא נותן לחששות להוציא אותו מהכלים, צריך להתחיל מהשאלות הקלות שיתנו ביטחון ואז ללכת לשאלות הקשות יותר עם הביטחון.
הילדה שהייתה ממנהיגות המרד וחזרה בתשובה מצליחה יפה מאוד ומוציאה 90.
אבל מסחטת הרגש הייתה משלוש בנות, האחת המורדת האחרונה, מיכל – שתמיד מדברת בחוצפה ומתריסה בפני שהיא לא מבינה כלום ואני לא יודע להסביר והיא בכלל מסרבת להקשיב לי כי אין לי שום מושג במתמטיקה ושתיים מחברותיה שמאז סוכות ישבו תמיד קרוב והבינו נהדר את החומר ורק בשיעור האחרון לפני הבוחן משום מה הלכו לשבת ליד אותה מיכל ולכן לא הקשיבו בכלל לשיעור.
במהלך הבוחן מיכל, כאשר לא הצליחה בשאלה אחת, אמרה לי שלא יוצא לה פתרון שלם אז אמרתי לה שכנראה יש לה טעות. "לי?! טעות?! אין לי שום טעות! אולי לך יש טעות ואתה לא יודע לכתוב מבחן!". "אולי".
אחר הצהריים קיבלתי שני טלפונים, מהאבא של מיכל ומהאימא של אחת מחברותיה. האימא של החברה הביעה את הטענה שאני מלמד אחרת וקשה להם, אבל רקע – אמרתי – הילדה דווקא מבינה באלגברה, היא הוציאה ציון מושלם בבוחן בשאלות האלגברה מה שאומר שהתלונות לא רלוונטיות לגביה היא לא שלה אלא ככל הנראה מגיעות ממיכל... האם הסכימה והבטיחה לי שהיא תבין בדיוק מה קורה ומה מקור הטענות ובכל מקרה היא אמרה שהבת שלה כבר לא תשב ליד מיכל.
הטלפון השני מהאבא של מיכל. האמת פחדתי. אם הבת מדברת ככה מה יהיה עם ההורים? אבל כמו תמיד – ההורים פשוט נפלאים. האב אמר שדיבור כזה לא מקובל לחלוטין עליו וקודם כל צריך לפתור את הדבר הזה ואח"כ דברים אחרים.
רק שימו לב איזה פוסט ארוך ועמוס יצא לי אז תבינו איזה עומס היה לי אתמול בראש – הייתי חייב לנוח.

תובנות פרטיות

היום התחלתי לעשות שיעורים פרטיים תודות לשכן שלי ששידך לי תלמיד. מדובר בנער שפרש מבית הספר אבל רוצה לעשות בגדות באופן עצמאי. מלבד הכסף יש בשיעורים הפרטיים יתרון גדול נוסף – אפשר לראות איפה המכשולים של הילד ולהתאים את החומר הנלמד אליהם.
היום עבדנו על משוואה מסוג


התחלנו את השיעור בכך שלא היה לילד בכלל מושג מה עושים כאן, שאלתי אותו מה עושים כאשר יש מכנים במשוואה והוא אמר שצריך להכפיל. במה? לא יודע, ב 3? טוב מה המכנה המשותף של הצד הימני של המשוואה? 3x? בקיצור חושך.
אז התחלתי במשוואות עם מכנים מספריים, הסברתי לו שמותר לנו לכפול את שני האגפים באותו מספר, כדאי לבחור מספר שהמכנים במשוואה יצטמצמו איתו. תרגלנו 4-5 משוואות עם מספרים במכנה והוא הסתדר.
לפני שעברנו למשוואות עם משתנים במכנה עברתי על כינוס של איברים כפליים, למשל, 3a•4a^2b•2b^2. אחרי כ 10-15 תרגילים כאלה הוא הבין את נושא הצמצום ואז עברתי למכנה משותף הנמוך ביותר, הפכתי את התרגילים מכפל של ביטויים לחיבור ההופכי שלהם, למשל

עכשיו מחפשים את המספר שהוא המכנה המשותף הנמוך ביותר מבין המספרים ואת החזקה הגבוהה ביותר לכל משתנה. פה הזדקקתי רק ל 5-8 תרגילים כי ההבנה של מבנה הביטוי הכיפלי – מספר ומשתנים – כבר היה ברור. עכשיו ראיתי שיש לו בעיה עם הביטוי (x-1), מה זה? זה x? אז אמרתי לו שפשוט צריך להתייחס לביטוי כולו כמו משתנה וש (x-1) הוא שונה מ (x+1) בדיוק כמו ש a שונה מ b. אז הלכתי על תרגיל

ואחרי 3-5 תרגילים גם בזה הוא שלט.
ועכשיו הייתי כבר כמעט מוכן לתרגיל המקורי, חסר לי עדיין את הפרוק של x^2-1 וכמובן את פתרון המשוואה הריבועית בסוף אבל את התרגיל

הוא כבר הצליח לפתור. וכל זה בשעתיים... אחלה בחור.

הגיע זמן לפרוש?

מה אומר ומה אגיד? טעיתי. כן – קורה, טועים, טעות. כזכור לכם טענתי שתלמידים לעולם לא יהנו בשיעורים, שבמקרה הטוב הם יסבלו בשקט.
ובכן, שאלתי אם של תלמיד שדיברתי איתה לפני כחודש מה המצב? איך התחושה בכיתה? האם היה שיפור? ומה הייתה התשובה? "יש שיפור משמעותי ביותר! הוא שינה את הגישה בעקבות שיחתכם, והוא אפילו נהנה מהשיעורים... בקיצור- אני מאוד מודה לך. היה לי תענוג לפגוש אותך והתוצאות בשטח הן מאוד מעודדות".
וואו!!! נהנים בשיעור? האם יכול להיות שזה השיא? האם הגיע הזמן לפרוש? אפשר בכלל לעלות מכאן?

כמובן שמאז המייל היה עוד שיעור גיאומטריה, קצת פחות אופורי משיעור האלגברה אבל אני חושב שבסה"כ היה בסדר, חזרה לשגרה.

תחתית

אני מתנצל בפני קהל קוראיי הנאמן אבל היום אני אכתוב שני פוסטים - אני פשוט חייב - אבל זה יהיה ממש קצר.

היום במעלית ניהלתי שיחה חטופה עם מישהי שאמרה שהמקצוע האחרון שהיא הייתה הולכת ללמוד הוא הוראה - קשה לריב עם התלמידים, המשמעת, מקצוע קשה.
בדרך כלל הייתי עובר על שיחה כזו לסדר היום שהרי ברור שרופאים, עו"ד, אנשי היי-טק ואחרים לא ממש שואפים להיות מורים אבל מכיוון שאותה אישה עוסקת בניקוי חדר המדרגות יש לי תחושה שהגענו אל הקרקעית...
:-)

חיבוקים

אחרי ההרחקות בשיעור הקודם התחלתי לחבק, לקרב ולעזור לילדים המפריעים שהרי אנחנו רוצים שהם יכנסו למסלול הלימודים ויצליחו.
קודם דיברתי עם ההורים, וכמו תמיד עד עכשיו, היה מצוין. הסברתי להורים שהילדים עברו את הגבול והפריעו בצורה שלא הותירה לי ברירה אלא להרחיקם מהכיתה כדי שהתלמידים האחרים שכן רוצים ללמוד יוכלו לממש את זכותם אבל אני לא רוצה להפסיד את הילד שלהם ולכן צריך לחשוב איך אנחנו משפרים את המצב.
אמא אחת הציעה שאני אדבר עם הילד שלה בשיחה אישית ואני הוספתי שאני גם אערוך לו את שיעור החזרה שהוא פספס (עקב ההרחקה) כדי שיצליח במבחן. קבענו להיום בסוף הלימודים והילד אכן הגיע, עברנו יחד על הבוחן הקודם ועל דף החזרה. נראה לי שהוא הבין, היה בסה"כ נחמד ופורה מאוד. היום אחר הצהריים האם שלחה לי מסרון תודה. יפה מצידה.
עם ילד אחר האם טענה כי היא יודעת שיש לו פוטנציאל לא רע אבל הוא חסר מוטיבציה ברמות גבוהות מאוד. לטענתה הוא גם חייב הרבה מאוד פידבקים חיוביים ואם אוכל לומר לו שלפי דעתי יש לו פוטנציאל זה מאוד יעזור. ואכן, הוצאתי אותו היום משיעור אזרחות לשיחה פרטית ואמרתי לו שההתנהגות שלו בינתיים היא מתחת לכל ביקורת – הוא נעדר הרבה, כאשר הוא מגיע לכיתה הוא לרוב מפריע וכאשר הוא לא מפריע הוא פשוט ישן... בקיצור לא לומד. אמרתי לו שממש חבל, שהרי הוא הוציא ציון לא רע (55) מבלי ללמוד בכלל ואם הוא היה לומד אפילו 50% הוא היה יכול להגיע ל 80 ואם היה לומד כמו שצריך גם 100 היה ציון סביר. אני לא באתי להיות מורה כדי שתישן לי בכיתה, אני רוצה שתלמד ותצליח להגיע לפוטנציאל שלך שהוא גבוה. אני חושב שראיתי לחלוחית בעיניו – וזה ילד שמאוד מנסה להיות קול. נפרדנו בלחיצת יד ואני מקווה לטוב.

יש מבין

היום היה חשמל באויר. חשמל ב-ח'.
לימדתי מערכת אי שוויונים "וגם". כלומר, שיש שני תנאים שהיחס ביניהם הוא "וגם", למשל x > 1 וגם x < 3.
התחלתי עם ישר המספרים וקישרתי להנדסה כאשר אמרתי שישר המספרים הוא ישר, כלומר אינסופי לשני הכיוונים והנקודות לא תופסות מקום, כלומר, בין שתי נקודות תמיד אפשר להכניס עוד נקודה. אח"כ עברתי לסימון של מספר על הציר – כלומר נקודה. קרן על הישר, למשל x≤1, שזו קרן שמתחילה ב 1 והולכת שמאלה – לאינסוף, אח"כ קטע 2≤x≤3 שזה הקטע בין 2 ל 3. אח"כ הגענו לשוס – x < 3. עלתה ההצעה לסמן את הקרן מ 2 ושמאלה, אבל אז אחד התלמידים אמר: "ומה עם 2.5", יפה, ומה עם 2.9, 2.99, 2.9999. בעיה. ואז אמרתי שלמעשה אנחנו מתחילים ב 3 אבל מכיוון ש 3 עצמו לא חלק מהפתרון אנחנו נסמן עיגול ריק. תפס יפה.
ואז הפסקה. בפעם הראשונה באו אלי שני תלמידים שלא הבינו, דיברתי איתם כחמש דקות והם הבינו! מגניב.
התחיל השיעור השני. הלכתי לקטע 2≤x≤3. אמרתי שזה בעצם שני אי שוויונים x≤3 וגם x ≥2. די ברור. עכשיו במקום אי שוויונים פשוטים ניקח אי שוויונים קצת יותר מסובכים, נניח 3x-2<4 וגם 2x+3>1. נפתור את אי השוויונים אחד אחד ונקבל x<3 וגם x>2 ואת זה אנחנו כבר יודעים לצייר וגם לכתוב בכתיב מקוצר 2 < x < 3. גם הסבתי את תשומת ליבם שבעצם יש פה שתי קרניים שהחלק המשותף שלהם הוא הקטע – נשבע לכם ששמעתי התלהבות...
ואז אחת התלמידות ביקשה תרגול. יאללה, הייתי במצב רוח טוב ואלתרתי. אבל בטעות נתתי להם תרגיל ללא פתרון, כלומר שאחרי הפיתוח מקבלים x≥5 וגם x < 3. והפלא ופלא – מהר מאוד ילדים הבינו לבד שאין פיתרון, אמרתי להם: תגידו את זה, מספר שקטן משלוש וגם גדול או שווה לחמש. יש דבר כזה? לא. אין. אין פתרון!
אח"כ הלכתי על אי שוויונים מוכלים, כלומר x < 4 וגם x < 1. ציירנו על הציר ושאלתי מה הקטע המשותף? בין 4 ל 1? לא. כל החלק שמתחת ל 1. ילד אחד אמר, זה לא קטע – זו קרן. יפה. וראיתי ילדה שקטה מאחור מסננת "יש" – היא ככל הנראה הבינה לבד שזו התשובה.

הקטע המשעשע של השיעור היה כאשר אחת משלוש הילדות שעשו בלגן בתחילת השנה טענה שהיא לא יודעת לפתור אי שוויונים, אמרתי לה, תפתרי כמו שאת פותרת משוואה ורק תהפכי את הסימן אם את מכפילה או מחלקת במספר שלילי, ואז הגיעה תשובת המחץ: "אני לא יודעת לפתור משוואות, חודשיים לא נגעתי בזה כי כל הזמן אני רבה איתך שאני יודעת לפתור בדרך אחרת"...
תודה רבה.

נ.ב.
אל תדאגו, עזרתי לה קצת והיא הצליחה.

ההנדסה צריכה לפרוץ את המחסום

שלשום ערכתי את שיעור החזרה עם כיתה ח' על ההוכחה הפורמלית בהנדסה, כרגע אני מתרכז בקטעים. אומנם התעודדתי כאשר שמעתי מהמורות האחרות שגם אצלן ההוכחה הפורמלית לא הופנמה אבל אני כן הייתי רוצה לפרוץ את המחסום הזה.
התחלתי, כאמור, עם הסבר כללי מה היא טענה (נניח, שעכשיו יום) וטענה מותנית (אם מספר גדול משלוש אז הוא שווה לפחות ארבע). וילד אחד, כאילו לפי הזמנה, מיהר להפריך את הטענה המותנית ואמר ש 3.1 הוא מספר הגדול משלוש אבל קטן מארבע. יפה – כך אפשר להפריך טענה, לתת דוגמא נגדית שמתאימה לתנאי (גדול משלוש) אבל לא מתאימה למסקנה (לפחות ארבע). אח"כ שיניתי את התנאי למספר שלם והטענה הפכה להיות נכונה.
עכשיו איך זה קשור לגיאומטריה. כאשר אומרים לנו שמשהו "נתון" זה בעצם התנאי, בדוגמה שניתנה בהודעה זו, כלומר אם AO=DO ו BO=CO ומה שצריך להוכיח זו בעצם המסקנה AB=CD.
אז קודם כל צריך לנסות להפריך את הטענה, איך? לנסות למצוא דוגמא נגדית. אח"כ לנסות להבין למה לא משנה מה תהיה הדוגמה המספרית הטענה תהיה נכונה ואז להוכיח.
מי לא הבין? הרוב טענו שהם הבינו ויצאו לתרגל הוכחות. אני בינתיים ישבתי עם שני תלמידים שטענו שהם לא הבינו ונראה לי שזה עבר, מספר תלמידות נוספות טענו שהן הבינו (עדיין לא הוכחתי את הטענה הזו ) אבל בסה"כ הייתה התקדמות קלה לפי הערכתי.
בשיעור הנדסה הבא אני אוכל לדעת יותר טוב. אני מקווה.

תצא בחוץ

בשיחה שהייתה לי בעבר עם תלמידה אחת והיועצת, כאשר התלמידה התלוננה שקשה ללמוד בכיתה שלי כי יש בה הרבה רעש היועצת אמרה שאני רך מדי והנוהל הוא שאם תלמיד מפריע בלי הפסקה הוא מוצא מהשיעור ונרשמת לו העדרות – שהרי עם אחוז העדרות גבוה מספיק, אין ציון במקצוע.
והיום בשיעור חזרה לכיתה ט' נשבר לי הזין. הגיעה כחצי כיתה (תמיד ביום חמישי בשעה 14:00 אין הרבה תלמידים) והפעם פתרתי את הבוחן כהכנה למועד ב' ובאמת רציתי שתלמידים יצליחו בו. היו שלושה תלמידים שישבו במקומות שונים בכיתה וכל הזמן דיברו בינן לבין עצמם – בקול רם מן הסתם ופשוט שיגעו לי את השכל.
אחרי שלוש-ארבע נסיונות השתקה כושלים איימתי ברישום הפרעה והוצאה מהכיתה – כלום. כאילו דיברתי לאויר. ואז – הפרעה. צאי החוצה, כן צאי החוצה ונרשמת לך העדרות. אמרתי שקט, לא? צא החוצה. מה זה לא רוצה? אם אתה לא יוצא מיד אתה מקבל הערת משמעת (זה חמור מאוד), ואחרי 2-3 דקות גם הליצן השלישי מצא את עצמו בחוץ.
ומאז, אחלה שיעור. היה שקט תלמידים הבינו – תענוג.
בערב התקשרתי להורים כדי שההרחקה לא תיתפס כפרס אצל אותם מפריעים. הצלחתי לדבר רק עם אם אחת התלמידות. הייתה שיחה נעימה (כרגיל) וסוכם שהתלמידה פשוט תיכנס לשיעור בלי לומר מילה, רק בנושא השיעור. אני בתמורה אשאר איתה יום אחד בשבוע הבא אחרי הלימודים ואשלים לה את החומר שהיא פיספסה היום. וכמו שהמורה הלא-פוליטיקלי קורקט אומר: "יד אחת מכה, יד שניה מחבקת".
נקווה לטוב.

עניין ומוטיבציה

בסרט "טעם החיים" של מונטי פייטון יש קטע על חינוך שבו המורה מלמד תלמידים בגיל ההתבגרות על סקס, ובאותו שיעור הוא עורך הדגמה חיה עם עוזרת הוראה. והתלמידים? הם מפריעים, לא מרוכזים, מדברים ביניהם ומרעישים....
אח... כל-כך נכון. כולנו רוצים לעניין את התלמידים, שיהיו מרוכזים בשיעור, שתהיה להם מוטיבציה ללמוד ולהצליח בלימודים. אבל אפשר פשוט לשכוח מזה.
שלא תבינו אותי נכון, זה אפשרי אבל אם מישהו מצפה שהעניין בשיעור או המוטיבציה של התלמידים ללמוד ולהצליח היא שתחזיק שיעור הוא טועה ומטעה. במקרה הטוב עם לילד יש מוטיבציה ו/או עניין בשיעור הוא יהיה אדיש, כלומר, לא יפריע ויקשיב, אבל אי אפשר לצפות מהילדים, לשאול, לחלוב מידע, לצפות לשיעור או להיות עצוב אם השיעור מתבטל.
אז נכון, שכדי שיהיה שקט בכיתה צריך לדאוג שהחומר יהיה מעניין ושלילדים תהיה מוטיבציה ואז מלאכת המשמעת קלה יותר (אבל עדיין קיימת) אבל לא הרבה יותר מזה.

פיגור

יש מבחן רבעוני לכיתה ח' בעוד שבועיים ואני בפיגור של שעתיים וככל הנראה אני לא אגיע לאחד הנושאים במבחן. החלטתי לתת גז היום בהנדסה כדי אולי להעביר שיעור אחד ואז מה? תדרוך לקראת הטיול השנתי בדיוק על שיעור מתמטיקה. ואם כבר טיול שנתי – אז לא זו בלבד שאחד משני הימים של הטיול נופל על יום שבו אני מלמד שעתיים אלא יום אחרי הטיול הילדים נשארים לישון בבית והנה הלכו להן עוד שעתיים של מתמטיקה. רבאק! תנו ללמד.
טוב, אז הייתה לי שעה אחת עם כיתה ח', עברנו על אריתמטיקה של זוויות, הסברתי במהרה מה זו מעלה ולמה, על כך שיש לנו המרה בין הזווית למספרים ומכאן שאנחנו יכולים לעשות את כל פעולות החשבון על הזוויות, הלך מאוד יפה ומהר, ככל הנראה הרוב המוחלט הבין בסופו של דבר – בקיצור, היה נחמד מאוד.
בשיעור הבא אני אנסה לעבור איתם על הוכחות של קטעים וזוויות נקווה שאני אצליח לשבור את המחסום כאן, מורות אחרות אומרות לי שגם אצלן נושא ההוכחות לא הובן כהלכה, אבל על זה נדווח בעוד יומיים שלושה.

אז אומנם היה יום עמוס בפעילות חינוכית שכללה שיחה עם הורה, ישיבת צוות, שיעור עם כיתה ח' על זוויות והחזרת בחנים לכיתה ט' אבל השיא של היום מבחינה חינוכית היה ללא ספק בתדרוך לקראת הטיול השנתי בנגב כאשר המדריך אמר: "הנגב הוא איזור גדול ויש בו מעט מאוד בני אדם אבל הרבה מאוד בדואים"....
ברגע הזה שכחתי את היותי מבוגר אחראי שאמור לשמש כמופת ודוגמא ופשוט התפקעתי מצחוק (אבל אני לא חושב שמישהו שם לב – גם למדריך הם הרעישו).

שלום כיתה ז'

והנה הגיעו להן עוד חמש שעות שבועיות כאשר מורה נוספת מצוות המתמטיקה יצאה לה לחופשת לידה.
אבל איזה בלגן...
נתחיל בזה שהמורה שיצאה לחופשת לידה הודיעה לי רק אתמול שהיא לא תגיע היום. לא, היא לא ילדה אבל היא לא יכולה ללמד כאשר היא אמורה לכרוע ללדת בכל רגע – צודקת. אבל מבחינתי זה אומר שלא היה לי זמן להתכונן בכלל לשיעור, אבל זה לא הכל.
יש תוכנית לימודים חדשה אבל רק עכשיו הוחלט על הספר, מה שאומר שאין לי אותו (הרגע הזמנתי) והמורה המובילה בכיתה ז' (לא הרכזת, מישהי אחרת) צילמה דפים מהספר והם היו בתא שלי, אבל לא יכולתי לקחת אותם כי בית הספר היה סגור בסוכות. אבל ז עוד לא הכל.
אתמול בעשר בלילה אותה מורה מובילה שלחה מייל מה כדאי ללמד מחר (בשמונה בבוקר!), כמובן היא התייחסה לדפים במייל שלה, דפים שלא היו מולי. אבל זה עוד לא הכל.
במהלך הלילה העליתי חום (קצת) והרגשתי די רע. אבל בכל זאת החלטתי ללמד, אני לא יכול להבריז על הפעם הראשונה. הגעתי לבית הספר בעשרה לשמונה, לקחתי את הדפים, וניסיתי להבין מה אני צריך ללמד עוד עשרים דקות. ברור שאני לא רואה את התוכנית הכוללת, רק צוהר קטן של השיעור הקרוב. אבל זה עוד לא הכל.
בשיעור עצמו הייתי צריך להקריא שמות, לחלק את הדפים שצולמו וגם לבדוק שיעורים (לבקש מהתלמידים שיניחו את השיעורים שקיבלו לחופש על השולחן ולעבור ביניהם). בקיצור, השיעור לא מתחיל בלמידה וזה מתכון לבלגן.
היה קשה להשתלט, בטח כאשר גם אני אובד בין הדפים שצולמו אבל יחסית עבר בהצלחה.

היה נחמד שהיו ילדים שהבינו למשל למה 2/3 שווה ל 4/6 כאשר הסברתי שמכפילים את המונה בשתיים, את המכנה בשתיים ולכן בסה"כ מכפילים ב 2/2 שזה 1. היו גם כאלה שהבינו למה צריך להכפיל את 4 ב 7/4 כדי לקבל 7 (כי קודם מחלקים בארבע ומקבלים אחד ואז מכפילים בשבע) אבל אני לא מרוצה מהשיעור כי אין לי סקופ של תוכנית הלימודים.

מכיוון שנתתי להם עבודת כיתה בנושא סדר פעולות חשבון עשרים דקות לתום השיעור והיו תלמידים שסיימו אותם בחמש דקות סיימתי עם החידה הבאה: מהמספרים 2,3,4,5 וארבע פעולות החשבון הגיעו ל 26 מבלי להשתמש באותה פעולה פעמיים – כך ש 2x3+4x5 לא תופס כי משתמשים פעמיים בכפל.

כתרגיל המתגבר

אחת מצורות הלימוד האהובות עלי הוא בתרגול מתגבר. כלומר, לתת בהתחלה תרגיל פשוט וטריוויאלי ואז לאט לאט לסבך את התרגילים כך שהתלמיד יגיע לתרגילים מסובכים בלי להרגיש. בני גורן עושה את זה יפה מאוד כאשר הוא מלמד בספרו על פתרון מערכת משוואות עם שני נעלמים בשיטת ההצבה, כלומר לחלץ משתנה ממשוואה אחת ולהציב אותו במשוואה השנייה.
א. הצבה – בשלב זה אנחנו מבהירים את עניין ההצבה, כלומר, אם משתנה שווה לביטוי כלשהו אז אפשר להחליף את המשתנה בביטוי שאליו הוא שווה. מתחילים עם מערכת המשוואות x+y=3 ו y=-2 – מערכת שכל ילד יכול לפתור בלי בעיות – פשוט צריך להציב -2 במקום y.
ב. הצבת משתנה - בשלב זה אנחנו מגלים שהביטוי המחליף יכול להיות גם משתנה ולכן נחליף את המשוואה השנייה להיות y=x. לתלמיד ההצבה של x ולא של מספר אמורה להיות די קלה וטריוויאלית (שלב שאני הוספתי).
ג. הצבת ביטוי – בשלב זה הביטוי שמוצב במקום המשתנה הוא מורכב יותר ומכיל פעולת חשבון, למשל y=x-3. ההתפתחות מהצבת x להצבת x-3 צריכה להיות די ברורה. כאן חשוב להדגיש את נושא הסוגריים ולכן כדאי לתת תרגיל נוסף עם מקדם ל y במשוואה שבה מציבים.
ד. חילוץ – עכשיו הגיע הזמן שהתלמיד יצטרך לעשות עבודה קלה במשוואה כדי להגיע לביטוי אותו הוא צריך להציב. כאן נוכל לתת את מערכת המשוואות x+y=7 ו x-y=-9 ונראה שבמשוואה הראשונה צריך להפחית x משני האגפים כדי להגיע למשוואה y=7-x ואז להציב.
ה. חילוץ עם מכנה - בשלב האחרון נדאג שלכל המשתנים בשתי המשוואות יהיו מקדמים, כלומר בתום תהליך החילוץ הביטוי שיש להציב יהיה עם מכנה (בני גורן מוסיף שלב שבו בשתי המשוואות יש משתנה אחד ללא מקדם ולכן הכי כדאי להציב אותו).
וכך באמצעות חמישה תרגילים שכל אחד מהם הוא קל לעיכול מצליח התלמיד להבין את שיטת ההצבה למערכת משוואות עם שני נעלמים.
ההערה היחידה שיש לי לבני גורן היא שהוא תמיד מציב את y מה שיוצר אצל התלמיד קיבעון לכך שמציבים את y. אני ככל הנראה בשיעור שלי תמיד אעשה תרגיל מראה עם הצבה של x – כי התלמידים מחפשים את האקסיומטיות, את "השיטה" ולכן קיבעון בהסבר יכול להתפרש כאמת המוחלטת וחייבים להימנע מכך ותמיד להראות שהכול פתוח.

תנו ללמד בשקט

אחד הדברים שמצאו חן בעיני במדיניות החדשה של משרד החינוך תחת שרביטו של שושני הוא שחייבים לתת 135 שעות שנתיות של מתמטיקה. החישוב היה שיש שלושים שבועות לימודים, ובכל שבוע חמש שעות מתמטיקה ולכן בפוטנציה יש 150 שעות שנתיות, נוריד 10% על כל מיני פעילויות והגענו ל 135.
לא היה לי מושג עד כמה הוא צודק.
ניקח למשל את השנה (טוב, זו השנה היחידה שלי עד כה...) – זה שכל החגים נפלו על יום ראשון, אין מה לעשות, כוח עליון. זה שביום ראשון אחרי סוכות יש חופש בבתי הספר – כוח האיגוד, אבל למה משלושת ימי הראשון שנותרו לנו ללמד בחודש אוקטובר בכיתה ט' יש לי פעמיים סמינר ובכיתה ח' טיול שנתי? אני די משוכנע שכאשר קובעים את האירועים הבית-ספריים כמעט ואין שיקול של אילו ימים נלקחו בעבר ע"י חגים ואירועים אחרים. נכון, זה קשה לקבוע אירועים, יש הרבה גורמים לתאם אבל הגורם הראשון שיש לתאם איתו בבית הספר הוא תוכנית הלימודים.

התחלה של דרגות חופש

בקרוב אני אתחיל ללמד את כיתה ח' מערכת משוואות, ונשאלת השאלה מה חשוב בלימוד של מערכת משוואות? לפי דעתי יש פה את המוטו המרכזי של ראיה כוללת של הבעיה שבה בתור התחלה סופרים את כמות הידע שיש לנו (המשוואות) לעומת כמות חוסר הידע (המשתנים) ובכלל מבינים אם איזו בעיה אנחנו מתמודדים, האם חסר לנו מידע, יש לנו יותר מדי, או בדיוק.
בתור התחלה ממליץ בני גורן להתחיל עם משוואה אחת עם שני נעלמים ולכתוב את טבלת הפתרון שלה. כלומר עבור המשוואה 2x+y=8, נכתוב טבלה ובה נקבע את ערך ה x ונראה שלכל x קיים y שיהווה פתרון למשוואה.

x	y
1	6
2	4
3	2

למעשה אנחנו רואים שיש לנו דרגת חופש אחת – x בדוגמא הזו. ואפשר גם הפוך, אפשר לקבוע את ערך ה y ולהתאים את x.
כך למעשה אנחנו מתחילים לגעת בבסיס של תורת האינפורמציה שבה דבר ראשון מאתרים את דרגות החופש. בהמשך כאשר נגיע לשתי משוואות עם שני נעלמים נבים שהמשוואות הן בעצם האילוצים שמורידים את דרגות החופש.

לא להאמין לכלום – בטח שלא לבני גורן

גם בכיתה ח' יש לי בעיה אם כך שהתלמידים לא מבינים בדיוק איך ולמה מוכיחים. נכון, יש בכיתה הזאת אנטי בסיסי אבל יש לי תחושה שמדובר בקצת יותר מזה, כמו שראיתי בכיתה ט' – אין הבנה ברורה של מהות ההוכחה, של חשיבות הדיוק וההסבר בה והכי חשוב את הקשר עם המציאות – בקיצור, אין ספקנות. כי כאשר אתה ספקן, אתה מבין את חשיבות ההוכחה. ילדים רצים מהר מאוד להוכחה הפורמלית לפני שהם בכלל הבינו את הטענה ואת הסיבה שהיא נכונה.
לכן נראה לי לבקש מהם קודם כל להפריך את הטענה, כלומר, קחו דוגמא מספרית (תמיד עובד) ותראו לי שהטענה לא נכונה. אם יצא נכון, נסו להסביר למה זה יצא נכון עם כל דוגמא מספרית, הסבר מילולי. אחרי שהשתכנעתם והבנתם למה הטענה נכונה תמיד הוכיחו בצורה פורמלית.
ניקח לדוגמה את השאלה הבאה:





נתון כי AO=DO ו CO=BO
הוכח: AB=CD

ואיך צריך להראות פתרון שלושת השלבים?
א. נניח כי AO=3 ולכן גם DO=3, נניח כי BO=5 ולכן גם CO=5. כמה שווה AB? 8 וכמה CD? גם 8. כלומר, הטענה נכונה.
ב. למה הטענה נכונה? האם היא תהיה נכונה גם אם AO יהיה שווה 7 ו BO יהיה שווה 3? כן, כי DO גם יהיה שווה 7 ו CO יהיה שווה 3 והסכום ישאר אותו דבר. כלומר, בגלל שאנחנו מחברים קטעים שווים הסכום יהיה שווה.
ג. ההוכחה
AB=AO+OB (חיבור של קטעים)
CD=DO+OC (חיבור של קטעים)
AO=DO (נתון)
CO=BO (נתון)
AO+BO=DO+CO (פעולה מתמטית)
AB=CD (פעולה מתמטית)

מש"ל.

תיקון

עברתי על הבחנים במעבר שני כדי להבין מה היו הטעויות הנפוצות ובמה התלמידים נכשלו.
להלן התוצאות (בסוגריים מספר הילדים שטעו):
ציון הצורה (6) – תלמידים כתבו למשל "צלעות נגדית שוות" במקום "במקבילית צלעות נגדיות שוות". על כל השמטה כזו הורדתי נקודה אחת, לתלמיד אחד ירדו כך שמונה נקודות והוא קיבל 90... אכזרי מדי מצידי? ממש לא, צלעות נגדיות אינן שוות, במקבילית הן שוות – הדיוק הוא חשוב מאוד.
נימוק כפול (12) – היו שתי שאלות שבהן לא הספיקה תכונה אחת כדי למצוא את הצלע או הזווית אלא היה צריך שני שלבים. למשל, במלבן נתון אורך אלכסון אחד וצריך למצוא את חצי האלכסון השני, אז בשלב הראשון אומרים שהאלכסונים במלבן שווים ובשלב השני שבמקבילית האלכסונים חוצים זה את זה. הרבה מאוד תלמידים נפלו בשתי השאלות האלה לחלוטין או שציינו רק תכונה אחת, החשיבה הרב שלבית היא מאבני הבסיס בגיאומטריה (ובמתמטיקה בכלל).
הצבת המשוואה בסכום זוויות (7) – הייתה שאלה שבה היו נתונות שתי זוויות סמוכות, האחת 2x-60 והשניה 4x, כאשר המשוואה צריכה להיות 2x-60+4x=180. היו ילדים שלא הצליחו כלל, היו כאלה שהשוו את שני הערכים.
חישוב צלעות המלבן (9) – כזכור, נתון השטח ושהפרש הצלעות הוא שלוש, לא מעט ילדים כתבו 41 ו 47, כלומר חשבו שהשטח הוא סכום הצלעות.
השלב האחרון בשאלה המפמ"ר (2) – בסעיף האחרון בשאלת המפמ"ר היה צריך לפסול שתי אפשרויות מבין השלוש שנתנו, אומנם רק שניים נכשלו בשאלה הזו אבל ככל הנראה בגלל שהשאר פשוט לא הגיעו אליה ונכשלו במציאת הצלעות...

אז מה הלאה? הכנתי דפי עבודה עם שלושה חלקים.
א. סימון תכונות המרובעים, למשל זוויות נגדיות שוות במקבלית, התלמיד יצטרך לסמן במקבילית המצורפת שתי זוויות נגדיות.
ב. שאלות עם נימוק כפול – פשוט השאלות הרגילות
ג. שטח מלבן. טבלה עם ארבע עמודות: צלעות, שטח, הפרש בין הצלעות, היקף המלבן. בחלק מהשורות אני נותן את הצלעות והתלמיד צריך למלא את השאר, באחרות את השטח וההפרש (כמו בשאלה) ובאחרות שטח והיקף.
עם החזרת הבחנים אני אחלק את דפי החזרה והם יצטרכו להגיש לי אותם בשיעור הבא כדי להיות זכאים למועד ב'. מי שלא יחזיר יוכל לצפות לשיחה עם ההורים שלו. אבל אצלי לא יכשלו בגלל עצלנות.

בחנים עליך ישראל

מסתבר שהגישה השלטת במתמטיקה בחטיבת הביניים אצלנו היא הרבה בחנים. מסקנה שהגעתי אליה בשנה שעברה כאשר ראיתי את ההשפעה החיובית על המוטיבציה של התלמידים כאשר יש בוחן באויר, אבל "הרבה" שלי זה לא "הרבה" של בית הספר. אצלן זה ממש הרבה. למעשה כבר אחרי שבועיים נתנו לכיתה ח' בוחן (כלומר אחרי 2-3 שיעורים), בתחילת נובמבר יהיה מבחן ועד אז המטרה להכניס עוד שני בחנים... בקיצור, בקושי לומדים, בעיקר נבחנים.
טוב, אז איך אני אכניס שלושה בחנים בשלושה שבועות עכשיו (וגם צריך לזכור שהעליהום שעושות עלי הבנות בכיתה ח' כן מצריך אותי להראות שאנחנו בקצב), ובכלל על אילו נושאים? צריך לבחון על משוואות, אי- שוויונים, קטעים וזוויות. החלטתי לנסות לדחוס רק שני בחנים, אלגברה (משוואות ואי שוויונים) והנדסה (קטעים וזוויות). כתבתי את הבחנים והראיתי לרכזת. אחרי משא ומתן קל היא הציעה שאולי נעשה בוחן אחד משותף (יש!).
יפה, אז באוקטובר אני אערוך בוחן שבוע וחצי אחרי החזרה ללימודים, אני עדיין צריך להספיק ללמד שלושה נושאים עד הבוחן ויש לי שלושה שיעורים כפולים עד אליו, כך שזה אפשרי. להמשך, סיכמתי עם הרכזת שהיא תגיד לי מתי היא רוצה עוד בחנים מראש ואני אתכונן בהתאם.

אני העצמתי את הבוחן בשנה שעברה עם שיעורי הכנה, מועדי ב' ודפי תרגול. החשש שלי הוא שאם יהיו שני בחנים בחודש אי אפשר יהיה להעצים את הבחנים. אבל נחיה ונראה.

תוצאות התעללות

אם גם אתם סקרנים כמוני לדעת מה תוצאות בוחן ההתעללות אז התשובה היא ככה-ככה.
הבוחן היה מורכב משלושה חלקים:
א. חישוב גדלים (צלעות, אלכסונים וזוויות) מנומק. שבע שאלות, כל שאלה עשר נקודות כאשר הערך שווה ארבע נקודות והנימוק (או הנימוקים) שש.
ב. חישוב גדלים באמצעות משוואות, למשל, צלע אחת שווה x+4, הצלע הנגדית שווה 2x-3 ואילו צלע סמוכה שווה 3x+2. צריך לפתור את המשוואה x+4=2x-3 ואז להציב. שתי שאלות, כל שאלה עשר נקודות – המשוואה שווה חמש נקודות, פתרונה שלוש והצבה שניים.
ג. שאלת המפמ"ר:
---
בבית הספר הקצו לכיתת המדעים חלקת אדמה כדי לשתול בה דשא.
לחלקה צורה מלבנית. צלע אחת ארוכה מהשנייה ב 3 מ'.
שטח החלקה הוא 88 מ"ר.
א. מצאו את אורכי הצלעות של החלקה
ב. מצאו את היקף החלקה
ג. כיתת המדעים מתכננת לשתול דשא רק על 80% משטח החלקה ועל יתר החלקה לשתול פרחים.
מהו השטח המיועד לפרחים מתוך החלקה?
ד. לפניכם שלוש אפשרויות למידות של שטח דשא בצורת מלבן.
לכל אחת מהאפשרויות הבאות רשמו האם היא יכולה להיות חלקת הדשא על פי נתוני הבעיה. נמקו. 8x10, 7.04x10, 12.8x5.5.
---

והתוצאות
ילד אחד הוציא 99 – ילד שבתחילת השנה ישב מאחור ולא הקשיב, קרבתי אותו קדימה והשאר היסטוריה.
שלושה ילדים 87-90 – אחד מהם גם ישב מאחור, הפריע ולא היה רציני. אחרי שיחת ההיכרות אמרו שיש לו הרבה מוטיבציה הבאתי אותו קרוב והוא ממש אחלה.
תשעה ילדים 55-69
שלושה ילדים 30-33 – לא מקשיבים כל השיעור.
ארבעה לא התייצבו לבוחן.
אני בסה"כ מרוצה מתוצאות הבוחן, רואים מי למד ומי לא. יש שני ילדים שדווקא למדו ונפלו בציוני הביניים (55-69), אחד מאותגר מתמטית אבל השני לפי דעתי פשוט פספס פה משהו, כתבתי לו הערה שהוא יכול יותר. עכשיו (אחרי סוכות) המרוץ אחד מועדים נוספים.

מקבילית היא טרפז

כאשר הגעתי לכתיבת תוכנית הלימודים לכיתה ט' שמתי לב כי בספר הלימוד כתוב כי טרפז הוא מרובע שבו זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילות והזוג השני אינו מקביל. לכאורה הגדרה תמימה, למעשה רצח של קונספט הירושה מכיוון שכך מקבילית אינה טרפז. ההגדרה הזו למעשה מגדירה את המקבילית כנקודה סינגולארית בטרפז (אם נסתכל על רצף זוויות הבסיס של הטרפז). אז החלטתי לעשות מרד קטן ולהגדיר את הטרפז כמרובע שבו זוג צלעות אחד הוא מקביל.
ומכאן נובע שטרפז שווה שוקיים הוא טרפז שזוויות הבסיס שלו שוות ולא שהצלעות שאינן מקבילות שוות מכיוון שגם מקבילית עונה על ההגדרה הזו.
וכך במשפחת המרובעים אפשר לומר שמקבילית היא טרפז שבה שני זוגות הצלעות הנגדיות מקביל, טרפז שווה שוקיים הוא טרפז שזוויות הבסיס בו שוות ומלבן למעשה הוא הכלאה של מקבילית וטרפז שווה שוקיים.

ליתר ביטחון החלטתי לחפש באינטרנט את הגדרת הטרפז מכיוון שאני לחלוטין לא סומך על ההגדרות בספר הגרוע של שלו-עוזרי, והגעתי, כמו תמיד לויקיפדיה ששם מסבירים את הקונפליקט ושגם משרד החינוך מגדיר שמקבילית אינה טרפז כמו שאפשר לראות בתוכנית הלימודים בעמוד 4.

אגב, אם זכרוני אינו מטעה אותי אני זוכר שהסינגולאריות הזו של הטרפז, והעובדה שמקבילית אינה טרפז הפריעה לי עוד כשהייתי תלמיד צעיר, זה ממש שבר את המבנה היפה והשלם של ירושת מרובעים. כנראה מזמן הייתי דפוק.

ואולי נארגן כאן מחאה קטנה. כתבו למשרד החינוך שההגדרה הלא טבעית הזו של הטרפז אינה לרוחכם.