תורת המשחקים

היום היה השיעור האחרון בהנדסה לכיתה ח' והוא בנושא חפיפת משולשים מורכבת. כלומר, הוכחה בשלושה שלבים:
א. חפוף משולשים, בד"כ יש לבחור את המשולשים שיש לחפוף לפי נתוני השאלה.
ב. מנתוני החפיפה אפשר להסיק מידע נוסף (למשל גודל זווית חיצונית).
ג. השלמת ההוכחה באמצעות הנתון שהושג ב (ב).
אחת הבעיות ששמתי לב שילדים נתקעים בהן היא שהם לא רואים את השאלה כתהליך של 2-3 שלבים אלא ישר רוצים לפתור. ולכן עלה בי הרעיון להפריד בין השלבים, כלומר לתת לילד אחד לחפוף את המשולשים לפי הנתונים ולילד אחד להשלים את הפיתרון. ומכיוון שזה גם שיעור אחרון בהנדסה ולשאלות האלו יש אופי של חידות, אולי נעשה מן תחרות שכזו בין שתי קבוצות.
נחלק את הכיתה לשתי קבוצות. אני אכתוב שאלה על הלוח, כל קבוצה תקבל דקה או שתיים להתייעצות ואז אני אבחר שלושה נציגים מכל קבוצה כאשר כל נציג יצטרך לפתור שלב אחד בשאלה. הקבוצה שתסיים ראשונה תקבל נקודה.
זה היה התכנון, המציאות, כמו תמיד, הייתה שונה. נתחיל בזה שהשיעור נפתח באי-סדר ונאלצתי לרשום יותר הערות מאשר בשיעור הקודם לצערי הרב. מכיוון שתחרות שכזו היא עם פוטנציאל גדול יותר של רעש היו לי מחשבות שניות בנושא אבל החלטתי ללכת על זה. שאלתי את הילדים מה הם מעדיפים, תחרות או לימוד רגיל והם כמובן העדיפו תחרות. התניתי את התחרות בשקט בכיתה. אז התניתי.
הפעם אני לא רוצה להתלונן על הבלגן אלא על חוסר ההשתתפות. בסה"כ היו לא מעט ילדים שהתלהבו, מה שגרם לכך שהם רוצים לפתור הכל, עכשיו, בלי שלבים ובלי מתמודדים שאני בוחר. השאלות מעניינות והתחרות חשובה. הלך כל מבנה התחרות וכל הרעיון של חלוקת ההוכחה לשלבים.
הבעיה היותר קשה היא שהמתלהבים הם בעצם התלמידים המובילים ובעלי הביטחון העצמי הגבוה והם השתלטו על הלוח ואילו שאר התלמידים פשוט ריחפו להם בשיעור.
אז אומנם היה נחמד לראות כשמונה ילדים פשוט מתלהבים מהשאלות מנסים ומצליחים יפה מאוד אבל המטרה היא ללמד את כולם ולא רק את החזקים. בקיצור, לא עובד. צריך לחשוב על דרך אחרת לשחק במתמטיקה, תחרות בין קבוצות גדולות פשוט דוחקת את הבינוניים והחלשים הצידה.

נכנעים לטרור

התחושה שלי בסוף יום הלימודים הקודם שבא לי בשיעור הבא להיכנס לכיתה עם תת-מקלע, לרסס קצת ואז יהיה שקט. טרור, אתם יודעים, תמיד עובד. ובאפן מטאפורי זה בערך מה שקרה.
"בוקר טוב ילדים. אחרי הבלגן של אתמול אני עובר לשיטת אכיפת החוק האמריקאית. אני הולך להעיר לכל מי שקם ממקומו, מדבר ללא רשות או זורק משהו בכיתה. הערה ראשונה – אזהרה, הערה שניה – הפרעה (כזו שנכנסת לתעודה), הערת שלישית – תחילת תהליך להוצאה מהכיתה"
שקט. אני מתחיל ללמד.
היה יופי של שעור, פיזרתי רק 16 הערות שהתלכדו רק לכדי ארבע הפרעות. התלמידים למדו, כולם תרגלו, גם התלמיד המפריע ביותר, גל, שמעולם לא תרגל בכיתה ולא הגיש שיעורים, עבד ואף סיים ראשון את התרגול בכיתה. הטרור עובד.
ועכשיו ל ז'3. אם נשאר במטאפורת הטרור אז כיתה ח' הם אמריקאים וכיתה ז'3 הם רוסים. איומים לא יספיקו, יהיו גם יריות.
התחלתי אותו דבר: "בוקר טוב ילדים. אחרי הבלגן של אתמול אני עובר לשיטת אכיפת החוק האמריקאית. אני הולך להעיר לכל מי שקם ממקומו, מדבר ללא רשות או זורק משהו בכיתה. הערה ראשונה – אזהרה, הערה שניה – הפרעה (כזו שנכנסת לתעודה), הערת שלישית – תחילת תהליך להוצאה מהכיתה"
אלא שהפעם יש התנגדות (מן הסתם) ואני פותח בצרורות.
"אבל מה זאת אומרת..."
"הערה ראשונה שחר"
"אבל לא אמרתי כלום"
"הערה שניה"
"זה ממש לא פייר"
"והנה ההערה השלישית". הרוגה אחת כבר יש.
ילדה קמה. הערה ראשונה, ויכוח קל. הערה שניה. פצועה.
פה נורו 42 יריות (הערות), עם ארבעה פצועים (הפרעה בתעודה) וארבעה הרוגים (צריך לדבר עם ההורים) אבל היה שקט. למדו. הבינו. כמו שצריך להיות.
את הפרעות כבר רשמתי במשו"ב (תוכנה לניהול תלמידים בבי"ס) ואני צריך לדבר עם ההורים עכשיו – אבל אני חדור מוטיבציה להראות להם שאלו לא היו כדורי סרק.

אז זהו, שלא.

אחרי יום שני המהנה שכולם הקשיבו והצליחו הגעתי מעודד. נכון, אני פותח עם ז' 3 – התוססים – אבל עכשיו הולך לי. יהיה אחלה. אז זהו, שלא – היה סיוט.
נכנסתי לשיעור, היה קצת שקט (כנראה שאריות של מפגש הבוקר שמישהי אחרת העבירה) והייתי שאנן. אבל לא לזמן רב. הצלחתי להשחיל מילה רק אחרי 20 דקות... היה רעש ובלגאן ברמות שטרם הכרתי, וכבר יש לי ניסיון לא מבוטל. שני ילדים ממש הלכו מכות באיזשהו שלב והפרדתי אותם בכוח. היו מספר ילדים שניסו ללמוד (בעיקר משתי השורות הראשונות) ואני מקווה שהם למדו. היו את הילדים שדיברתי איתם ביום ההורים וארבעה מהם מאוד מאוד השתפרו אבל היו להם ממלאי מקום שאפילו עלו עליהם גם בימיהם הטובים ביותר. סיוט.

טוב, עכשיו ז' 5 (כל ה ז' ביום אחד). איתם היה לי בסדר ביום שני, בטח נמשיך בתנופה. אז זהו, שלא.
ביום שני לארבעה תלמידים יש תגבור (מן הסתם לא מדובר במצטיינים שבחבורה) והם לא היו בשיעור – וכאשר הם בשיעור זה סיפור אחר לגמרי. רעש, ילדים קמים, מדברים – סליחה , הלוואי שהיו מדברים – צועקים, רבים. כל מה שאפשר ובעיקר מה שאי אפשר. גם הילדים היותר חלשים שעבדו יפה מאוד ביום שני הפסיקו לעבוד כאשר חבורת המופרעים חברה אליהם. סיוט.
בכיתה הזו גם הייתה לי תקרית לא נעימה עם המצטיינים דווקא. בבדיקת שיעורי הבית ראיתי שיש לכמה מהם בעיה עם הטבלה של גילאים, אז השקעתי ועשיתי להם דפי תרגול. אחד פשוט סרב לקבל את דף התרגול: "אני לא צריך חיזוק" – מכיוון שהוא די צודק ויתרתי לו, אני לא רוצה לשבור את רוחם הצעירה. ילדה אחרת פשוט יצאה מדעתה, ילדה שמסיימת את שיעורי הבית עוד בכיתה לא עשתה כלום היום – אז שאלתי אותה אם זה בגלל הדף והיא אמרה שכן, אז ויתרתי גם לה.

טוב, אחרי שתי כיתות ז' יש לי שעה אחת עם כיתה ח'. טוב, שעה אחת, סוף היום, הקבצה א', בטח פה יהיה שקט כמו ביום שני. אז זהו, שלא.
ניסיתי לעבור איתם על שאלות ממבחני המיצ"ב הארציים, טוב, למה להגיד שאלות, בוא נתחיל בשאלה אחת. אי אפשר היה להוציא הגה, רעש בלגן, ילדים קמים, צועקים, גזרים התעופפו באויר. ילדים מהשורה הראשונה לא הצליחו לשמוע אותי, לא כל שכן להבין. סיוט.

טוב, נגמר גם השיעור הזה עכשיו קצת רגוע, הולכים הביתה. אז זהו, שכן.

A day in a life

אחד היתרונות שההיי-טק נותן לעובדים שלו הוא רכב הליסינג, מה שהפך כמעט כבר לסמל המסחרי של ההיי-טק. אבל כאשר אתה מורה צריך לקנות אוטו יד שניה – נו, לא נורא.
הבעיות מתחילות כאשר האוטו לא מניע, כמו שקרה לי אתמול בצהרים. בהתחלה זה היה קטן עלי, הוצאתי כאבלים ביקשתי ממורה אחרת שתעזור לי להניע ונסענו. אחרי חמש דקות האוטו נכבה. קראתי לקרוב משפחה לחילוץ. הניע אותי והגעתי הביתה – לא יכולתי לנסוע למוסך כי הייתי עם הבנות אז חיכיתי לבוקר.
בבוקר נסעתי למוסך. שוב נתקעתי בדרך, הפעם ליד הקניון, חלומה של כל מורה עם בעל בהיי-טק, אבל הפעם המורה הוא בתפקיד הבעל. לא משנה, ממילא האוטו לא חנה כחוק אז הזמנתי את שגריר וחיכיתי. במהלך ההמתנה בשמש הקופחת התגעגעתי לליסינג, אח, היו זמנים, הייתי מרים טלפון לאלדן, היו מביאים לי רכב חלופי, הייתי מקטר קצת שאני צריך להעביר את כסאות התינוק, וזהו. הבעיה טופלה. טוב, עכשיו אין ליסינג, לא נורא, מחכים קצת.
בא הגורר, נאסר, הוא קצת מתעכב אבל מבטיח לי שכל עכבה לטובה ואח"כ לוקח אותי לחשמלאי שהוא מכיר – דימה. פעם, כשהכסף זרם כמו מים, הייתי הולך רק למוסך המרכזי, הייתי מתאר את הבעיה, לוקח מונית בשישים שקלים לעבודה, חוזר בארבע, משלם בכרטיס אשראי ונוסע לשלום. אבל עכשיו צריך להיות יותר זהירים יותר, אז אני עומד ליד דימה בחוץ, בחום, מפקח על מה שהוא עושה, הוא מזמין אלטרנטור משופץ (אבל "משהו משהו, יותר טוב מחדש"), אני מחכה שעה וחצי באוטו. ואז מגיע המחיר. 750. אני מנסה להתמקח מעט עם כישרון מוטל בספק וכמובן נכשל. טוב, 750. אבל במזומן. אין לי. אני הולך לתחנת הדלק. אי אפשר להוציא. טוב, אז צ'ק עכשיו ובערב אני אקפיץ לו הביתה את המזומן. ועכשיו כבר צהרים, צריך להוציא את הבנות ולהכין ארוחת צהרים.
בקיצור, היום החופשי שלי נשתה ע"י מכונית יד שניה במצב טוב, גרר ומוסכניק ובמקום לעסוק בדברים שברומו של עולם כמו בעיות מילוליות וחוקי חזקות ביליתי בהמתנה לגרר ולאלטרנטור. אבל אלו החיים. האמת, לא נורא, מילא היה יום חופשי ולא פספסתי יום עבודה של 1500 שקל.

בעיות מילוליות - הגירסא המוצלחת

חזרנו מחופשת הפסח במרץ רב והיה נפלא.
כזכור החלטתי לעבוד עם ז' 5 על בעיות מילוליות קודם על תבניות מספר עם טבלאות נתונים ורק עכשיו לעבור לבעיות עם משוואות. בקיצור, פתרתי שאלה אחת של גילאים על הלוח עם טבלה ואז נתתי להם ארבעה תרגילים – הלך ממש חלק ויפה. גם לי הטבלה עושה סדר והרבה יותר קל להבין את דרגות החופש בבעיה.
בגדול זה הולך ככה: אב גדול מבנו פי ארבע, בעוד חמש שנים יהיה גדול מהבן פי שלוש, מצא את גיל האב והבן.
הטבלה היא כך:




ועכשיו מתייחסים ליחס בעוד חמש שנים גיל האב בעוד 5 שנים = גיל הבן בעוד 5 שנים כפול 3, כלומר המשוואה היא

פשוט וקל. לי וגם לילדים.
הייתה ילדה אחת שעד היום בכלל לא הייתה מרוכזת בשיעור והפריעה כל הזמן שפתאום השקיעה, פתרה, הייתה מעורבת והצליחה יפה מאוד (כמובן שאחרי השיעור זרקתי לה מילה טובה), היו ילדים שנשארו בהפסקה כדי לפתור, בשעה השניה כאשר פתרתי על הלוח בעיות מחיר ילדה אחת אמרה שזה לא יכול להיות שאני עובר נושא כי אף אחד לא מבין ("אף אחד" זה מאוד חזק) ויצאה להגיד למחנכת שאני מורה גרוע, אח"כ היא חזרה, ישבתי איתה קצת והפלא ופלא – גם היא הבינה.
בקיצור – יופי של שיעור, קצת חבל לי על ז' 3, אבל אולי אני אתן להם את זה בדפי חזרה.

קומבינה לינארית

עכשיו עליתי מדרגה עברתי למשוואה מסוג .
לעין בלתי מזוינת זו נראית משוואה פשוטה להכנה, לא שונה בהרבה מסוג המשוואות הקודם שעבדתי עליו – אבל למעשה יש פה קפיצת מדרגה גדולה מבחינה אלגוריתמית.
אחרי שנפתר מהמכנים ע"י מכפלה ב 90- נקבל ועכשיו אנחנו צריכים לקבוע את המקדמים הפנימיים של X כך שאחרי פתיחת הסוגריים נקבל 2x (או כל ביטוי אחר שבחרנו). ולכן אנחנו צריכים למצוא a, b, c כך ש . לשם כך נהוג להשתמש בקומבינציה לינארית בדידה.
אבל האלגוריתם הזה יכול לתת גם קומבינציות קצת מוגזמות, למשל, פתרון הקומבינציה יהיה מה שאומר שהמשוואה תהיה . תודו שזה כבר מוגזם. אז הוספתי אלגוריתם חמדן איזון שלמעשה מוריד את הערכים של המקדמים ע"י החלפות מבלי לשנות את תוצאת הקומבינציה.
כך אם נוסיף ל a 56 (המקדם של b) ול b נוסיף 40 (המקדם של a) נקבל . נחזור על התהליך הזה עד שלא נוכל לשפר יותר ונגיע ל , ואם נחזור על אותו תהליך גם למקדמים החופשיים נקבל את הנוסחא . וזה כבר נראה יותר אנושי.
בעיה נוספת שיכולה לצוץ היא ניוון של פרמטרים. למשל, הפיתרון של , יהיה מה שאומר שהמשוואה תהיה , וזה די משעמם. אז הוספתי במקרה של שני מקדמים שהם אפס (a ו c בדוגמא שלנו), לעשות החלפה ביניהם. וכך מקבלים .
כמובן שכדי לסדר את הסימנים הייתי צריך להשקיע בערך שעתיים של ניסוי וטעיה – הרבה מאוד טעיה.
לצערי הרב התוכנה עדיין סובלת מבעיות יציבות ויש בה עדיין דליפות זיכרון והיא נופלת מדי פעם, אני אצטרך להשקיע עוד כשעה שעתיים כדי לייצב אותה אבל כרגע אין לי זמן מכיוון שאני צריך להמשיך הלאה, אני מניח שמתישהו אני אתפנה לזה.

הכשרה

כאשר החלטתי להיות מורה היה לי ברור שאני צריך לעשות תעודת הוראה. הלכתי נרשמתי למכללת אורנים. בינתיים, כאמור, כבר הצלחתי להתקבל לעבוד כמורה, כאשר המבחן היחיד שעברתי היה שעור הדוגמה שנתתי.
בסמסטר הזה לא הצלחתי ללמוד כי היה לי קצת עמוס בתחילת הלימודים. בינתיים מסתבר שיש תוכנית של משרד החינוך להסבת אקדמאים להוראה גם במקצועות המתמטיקה כך שאני אחכה לראות איך העניינים האלו מתפתחים – מדובר בתוכנית מאוד חיובית עם המרה של ותק בהיי-טק להוראה – וזה מאוד מאוד חשוב.

האם חסרה לי ההכשרה כמורה במסגרת תעודת ההוראה? מאוד יכול להיות. קורסים מעניינים כגון הפילוסופיה של החינוך, נוסחאות ופשרן, מבוא לפסיכולוגיה, רעיונות גדולים במדע ודידקטיקה של המתמטיקה יעזרו לי מאוד ויעשירו אותי. אבל האם אני אלמד שם את הפרטים? איך כדאי ללמד בעיות מילוליות? באיזה סדר? מה צריך ללמוד בכיתה ח'? אני מניח שלא. הרי גם כאשר אתה לומד מדעי המחשב לא מלמדים אותך להוציא גירסא, לדבג אותה, את כלי הפיתוח. אלו נוהלי העבודה הפרטיים שמקום העבודה צריך לספק.
ואחד הדברים שחורים לי מאוד עד כה הוא שלא קיבלתי שום תוכנית על, שום הדרכה מפורטת איך מלמדים ומה הסדר. נכון ישבתי קצת עם הרכזת, היא שירבטה לי משהו על דף אבל משם אני לבד. מורה אחת, ככל הנראה מוצלחת ומסודרת, נתנה לי את הסילבוס השנתי שלה – בדיוק כמה שיעורים כל נושא. מאוד מאוד עוזר לי. אבל אין. פשוט אין לא למשרד החינוך ולא לבית הספר שום נוהל הוראה, שום כניסה חלקה לתפקיד, שום הסבר מפורט איך צריך ללמד ומה – כל מורה לעצמו. אולי בבתי-ספר אחרים זה אחרת אבל אני לא קיבלתי שום דבר מסודר.
נכון, גם בעבודה הקודמת שלי, בהייטק, לא היה לנו משהו כזה וזו הייתה בעיה. אבל אנחנו ניסינו לפצות על כך ע"י קליטת אנשים איכותיים ביותר והצמדת חונך. מכיוון שכאשר אין לך מתודולוגיה מוגדרת היטב אתה תלוי לגמרי ביכולות של האנשים, בחורה מוכשרת תהיה מורה טובה ואילו בחורה פחות מוכשרת תהיה מורה פחות טובה. במקומות שבהם המתודולוגיה מפותחת נהוג לומר שהדרך חכמה יותר מהאנשים ההולכים בה ולכן גם אדם ללא יכולות יוכל לתרום לאותו ארגון. מספר המורים שצריך להעסיק בארץ הוא כזה גדול שאין סיכוי שכולם יהיו חכמים ומוכשרים ולכן צריך דרך חכמה – ולפחות כרגע – נראה לי שאין דרך בכלל.

חזרה לשורשים

חופש פסח ואני מתכונן.
ככל הנראה אני אצטרך לערוך לכיתות ז' בוחן בנושא משוואות ובעיות מילוליות וצריך להכין דפי חזרה. מורה שפוי, מן הסתם, היה פשוט כותב מספר תרגילים בחצי שעה וממשיך הלאה. אבל השפיות היא ממני והלאה – אני כותב תוכנית שתכתוב תרגילים, שיהיה מעניין, שיהיו הרבה תרגילים.
חשוב לציין שכבר שנים לא תכנתתי (הייתי מנהל גדול בשלהי קריירת ההיי-טק שלי) אבל זה כמו זה כמו לרכב על אופניים, תוך כמה דקות זה חזר אלי, לא רק היכולת אלא גם האובססיה.
טוב, התחלתי ממשוואות עם נעלם אחד עם סוגריים. למשל .
אז איך עושים את זה? פשוט הולכים לאחור.
מתחילים מהפיתרון - פשוט מגרילים מספר בין 10- ל 10 (6 בדוגמה שלנו)
שלב לפני הפיתרון הוא חלוקה במקדם של X, כלומר המשוואה נראתה כך:
- שוב מגרילים מקדם בין 10- ל 10 (4 בדוגמה שלנו)
בשלב הקודם כינסנו את איברי ה X, כלומר המשוואה נראתה כך: - כאן מגרילים את המקדם הראשון (9), שני מספרים שירכיבו את המקדם השני (2- ו 3) האחד בתוך הסוגריים והשני מחוץ להם. המקדם השלישי הוא למעשה המשלים למקדם הסופי של X.
ולפני כן כינסנו את האיברים החופשיים: - גם כאן מגרילים את האיברים החופשיים בתוך הסוגריים (3- ו -5) והמשלים שנבחר הוא למעשה אחרי פתיחת הסוגריים.
לפני כן פתחנו סוגריים: .
ואז מגיע החלק הקשה. לייצג ללא יתירות, כלומר שבמקום +- יהיה כתוב רק -, שלא יהיה מקדם 1 או 0, שלא יהיו סוגריים מיותרים ועוד. אני לא אפרט את המימוש שלי אבל היה נחמד מאוד – ירושות, עצים, וקטורים ורקורסיות, ממש כמו בימים הטובים. נשארתי ער עד שתיים בלילה כדי לסיים את המימוש ועוד אח"כ לכתוב פוסט לבלוג... דפוק כבר אמרנו?
אני חי!

יום הורים

הגיע יום הורים, בעצם זה מורה-הורה-תלמיד. זימנתי אלי את כל המפריעים העיקריים מז3.
המפגש הוא למעשה עימות ביני לבין הילד כאשר ההורה הוא השופט. אני טוען שהילד מפריע, הילד טוען שאני לא מלמד טוב והוא לא מבין כלום ושאצל המורה הקודמת הוא הבין היטב.
בפעם הראשונה זה הסתיים בפשרה כאשר הילד הסכים לבחון דרכים לשיפור ההתנהגות אבל ההורה גם רמז שכדאי שאני אשפר את הדרך שבה אני מלמד ואולי שינוי שיטת הלימוד גרמה לבלבול אצל הילד.
אח"כ עברתי לטקטיקה שונה. פתחתי בזה שהצגתי את עצמי – איש הייטק שפרש (הדגשתי שלא פוטרתי) ובאתי ללמד מתמטיקה מאהבה. התגובה תמיד הייתה: "אידאליסט" ומכאן דרכי הייתה סוגה בשושנים. לילד המסכן לא היה שום סיכוי. הנזיפות היו חד צדדיות, וכאשר הילד טען שהוא לא מבין אצלי כלום אז ההורה נזף בו ואמר לו שהוא צריך להתאמץ יותר ושאני כאן כדי לעזור לו ולא להיפך.
בקיצור, קיבלתי גב נהדר מההורים – מאוד מעודד

החזרת הבחנים

"לפני שאני מחזיר לכם את הבחנים אני רוצה לפתוח בבדיחה. בחור אחד רוצה להתקבל למשטרה, אז הוא הלך למבחני המיון ושם שאלו אותו כמה זה שתיים ועוד שתיים, הוא ענה בלי בעיות 7. חזר הביתה וסיפר לאשתו על מבחני הקבלה ועל התשובה שלו. אשתו אמרה לו שהוא אידיוט ושהתשובה היא ארבע. טוב, בצר לו הלך לחפש עבודה אחרת, בזבל או משהו כזה. אחרי שבוע מתקשרים מהמשטרה: התקבלת. אבל איך? הרי התשובה היא ארבע. טוב, היית הכי קרוב.

רציתי לספר את הבדיחה עם 7X4 אבל פחדתי שלא תבינו – כי מה שהיה כאן במבחן זה פשוט ביזיון! אני ממש לא מבין איך התקבלתם להקבצה א' – כנראה שגם אתם הייתם הכי קרובים.
אתם בושה להקבצה א', לבית הספר ולמערכת החינוך. ילדים שלא יודעים את לוח הכפל, שלא יודעים לצמצם שברים, לא מקשיבים בשיעור ויש להם את החוצפה להגיד שכולם לא מבינים והמבחן היה קשה. פשוט בושה.
אתם יכולים להשיג הרבה דברים עם החיוך היפה והנחמד שלכם: שיהיה מחשבון במבחן, שיהיו פחות שיעורי בית, ששיעורי הבית לא יהיו להגשה, שאני ארחם בציונים ושהמשקל של הבוחן יהיה נמוך. רק דבר אחד לא תוכלו להשיג ככה: ידע במתמטיקה! אז תקבלו ציון טוב בכיתה ח' ובאורח פלא תגיעו גם להקבצה א' בכיתה ט', אולי אפילו תעברו את הבגרות כי שרת החינוך תוריד את הרמה של המבחן, יהיה מועד ג' עם תשובות פתוחות ויהיה מותר להשתמש במחשבים ניידים. אבל מתמטיקה לא תדעו.
ואז תגיעו לאוניברסיטה - לא תתקבלו, תחפשו עבודה – ויזרקו אתכם מכל המדרגות. כי בניגוד אליכם יש ילדים שממש ברגעים אלה לומדים מתמטיקה, מתאמצים ומצליחים.
נכון, יכול להיות שמשרד החינוך דפוק, שבית הספר על הפנים ושהמורה שלכם לא יודע ללמד. אבל רק לאדם אחד אכפת האם תדעו מתמטיקה או לא. זו לא שרת החינוך, שתראה עליה בציוני הבגרות ותחשוב על המשרה הבאה שלה בממשלה, לא מנהלת בית הספר ואפילו לא המורה שלכם שעובד קרוב לבית ומגיע הביתה מוקדם. האדם הזה הוא כל אחד מכם. ואם אתם לא תיקחו מעכשיו את עצמכם בידיים ותתאמצו כשקשה לכם במקום להתבכיין אתם תהיו אנשים נחשלים.
וכאשר תשבו על מדרגות לשכת התעסוקה, תעשנו נרגילה ותתלוננו איך הממסד דפק אתכם, איך משרד החינוך הפקיר אתכם, איך מנהלת בית-ספר הזניחה אתכם, כמה המורה שלכם היה דפוק ותגידו שמגיע לכם – כבר יהיה מאוחר מדי. תהיו כבר נחשלים, תישארו מאחור.
אז תנוחו טוב טוב בחופשת הפסח כי בשליש הבא אני הולך לקרוע אתכם בשיעורי המתמטיקה אבל בסופו אתם תדעו."

היה שקט. דממה. רבע שעה של הקשבה.
באמצע הנאום נכנס ילד אחד שהיה בחוץ בתחילת הנאום וניסה לענות, אז חברו בועט בו וסינן בין שיניו: "עכשיו תסתום".

בסוף הנאום חילקתי את הבחנים לילדים שהוציאו מעל 95, שבעה במספר, ואת שאר הבחנים השלכתי על השולחן ואמרתי: "את השאר תיקחו לבד" ויצאתי מהכיתה.

בוחן

כאשר הודעתי על הבוחן ציינתי שהוא יהיה ללא מחשבונים, מכיוון שראיתי שהילדים לא יודעים לצמצם שברים (כפי שכתבתי בפוסט קודם). הייתה התמרמרות אבל עמדתי על שלי.
אבל מספר ילדים ניגש לרכזת ועמד על זכותו להשתמש במחשבון וגם התמרמר על כך שיש הרבה שיעורי בית ושצריך להגיש אותם (המסכנים... עכשיו חייבים להכין שיעורי בית). הרכזת כמובן תפסה אותי לשיחה ואמרה שמותר מחשבונים וכדאי שאני גם אוריד את כמות שיעורי הבית. טוב, אם אפשר מחשבונים אז מה אני יכול לעשות, בקשר לשיעורי הבית – אין סיכוי.

טוב, הגיע הבוחן - עם מחשבונים. אבל עכשיו אני בתחושת כח אדירה: היוצרות מתהפכות – מי צריך את מי עכשיו?
למרות הנוכחות הדלה יום לפני כן בשיעור החזרה, לחוצפנים הקטנים ביקשו לעשות שיעור חזרה בשעה הראשונה ומבחן בשעה השניה. אולי אני פראייר, אבל הסכמתי. ואפילו כך הייתה הקשבה חלקית – נו, מה כבר אפשר לעשות.
ואז החל המבחן. מבחן קל. באמת קל. אני שלמרות שלא נגעתי בחוקי חזקות בערך 30 שנה אני פתרתי את המבחן ב 5-6 דקות, מאה כמובן. אבל הילדים? חושך בעיניים – שלהם וגם שלי, אין להם מושג.
לא רק בחוקי חזקות אלא ילדים שלא יודעים לפרק 42 ל 6 כפול 7, לצמצם שברים כמו 18/4 ולכמה יצא ש 15x3 = 18. מסתבר שאיפה שהמחשבון לא עוזר פשוט אין להם מושג.
במהלך הבוחן טענו מספר חוצפנים קטנים שהבוחן קשה מדי ועובדה שאף אחד לא מצליח ולא יודע את החומר. ילדה אחת ביקשה ממני אחרי הבוחן לתת לו משקל קטן בציון הסופי כי הוא היה קשה מדי ולילד אחד הייתה החוצפה לרשום לי בבוחן שאני מורה כושל כי עובדה שאף אחד לא הבין.... שיהיו בריאים.

התוצאות היו מרשימות. כשבעה תלמידים שהקשיבו ובאו לשיעור חזרה הוציאו ציונים סבירים (בין 95 ל 100), אחרים נעו בין 80 ו 5. אני פשוט עצבני! איזה אפסים!

טבלאות נתונים

כאמור, אחת הבעיות הקשות שראיתי בכיתה ז3' כאשר עברתי איתם על בעיות מילוליות זו הבעיה להעביר ביטויים מילוליים לתבניות מספר. למשל, בקופסא אחת 15 ספרים יותר מאשר בשניה, אז אם בקופסא אחת יש X ספרים אז בשניה יש X+15. בעיה נוספת היא מיצוי השאלה, כלומר, להוציא ממנה את כל הנתונים הקיימים.
עיינתי בבני גורן וראיתי שכמה פרקים לפני בעיות מילוליות יש פרק תבניות מספר – בדיוק מה שאני רוצה. תרגול של העברת הניסוח המילולי לביטויים מתמטים וגם מעבר מקיף של הרבה ביטויים.
אז בכיתה ז5' התחלתי ללמד בעיות מילוליות מתבניות המספר וזה הלך יופי. כל-כך טוב שזה כבר שיעמם את חלקם (עדיף ממבטי העגל שקיבלתי בז'3).
גם בז'3, עם בעיות התנועה הלכתי על טבלאות והפלא ופלא – נראה שיש הבנה. למען האמת אחרי שכבר קרה לי לא מעט פעמים שחשבתי שיש הבנה ונתבדיתי, אולי כדאי להיות קצת יותר זהירים. נראה מה יהיה אחרי פסח.
למען האמת אני חייב לציין שמה שהכי מטריד אותי עד כה בהוראה זה שאין תוכנית על, שאין הנחיה ברורה למורות מה צריך ללמד, באיזה סדר ואיך צריך ללמד כל נושא. אולי זה רק אני שנכנסתי לאיזו פינה אבל נראה לי מוגזם שאני צריך להמציא דברים כאלה בעצמי.

הוראה פרטנית

היום יצא שהצלחתי להגיע בשלושה אופנים להוראה פרטנית – וזה נחמד מאוד.
בכיתה אחת שמתי לב לפי שיעורי הבית שיש ילדים שלא מצליחים לפתור משוואות עם שברים (למרות שיטות ההוראה המדהימות והמתקדמות שלי שהזכרתי בפוסטים קודמים), אז הכנתי לאותם ארבעה תלמידים דפי עבודה בנושא. למען האמת הייתי בטוח שהם יובכו מכך אבל הם קיבלו את זה יפה ואפילו שניים מהם מאוד הודו לי מאוד ואמרו שהם מבינים שזה הרבה עבודה להכין דבר כזה. ילד אחד אפילו שאל אם הוא יכול לצלם את הדפים – לא ממש הבנתי את השאלה, אולי הוא חשש לזכויות היוצרים שלי?
בשיעור העוקב, עם כיתה אחרת, אותו סיפור. למרות תחושת ההצלחה שלי בהעברת החומר של בעיות מילוליות הייתה ילדה שבאה אלי עם דמעות בעיניים שהיא לא מבינה את החומר ועכשיו אנחנו עוברים לבעיות תנועה. טוב, קשה לעמוד מול דמעות של ילדה. אז אמרתי לה שתבוא בסוף היום לחדר המורים. באה. כולה חיל ורעדה: "מה רצית ממני?", "ללמד אותך בעיות מילוליות". שוק. לקח לה איזה רבע שעה להשתחרר ולהבין שזה באמת מה שאני רוצה והלך לא רע בכלל. תרגלנו מספר תרגילים והיא הצליחה לא רע.
אחרי השיעור הפרטי הזה, הלכתי לשיעור בונוס שהענקתי לכיתה ח' לקראת הבוחן בחזקות שצפוי להם. למען האמת זה לא שיעור כל-כך בונוס, זה שיעור שהיה להם באופן קבוע אבל אני, בחודש חפיפה עם העבודה לא יכולתי לתת אותו. אבל הפעם, בגלל הבוחן, החלטתי לתת גם אותו. הגיעו רק שבעה. שערוריה. הבוחן למחרת – טוב, אולי הם ממש יודעים טוב את החומר. השיעור הלך די טוב, פתרנו כמה תרגילים ואפילו נשארתי עם חלק מהתלמידים עוד רבע שעה.
בסה"כ, אני משתדל לתת אבל מה שמטריד אותי יותר זה שלמרות התחושות הטובות שלי בקשר לכך שאני מצליח להסביר את החומר – הוא לא עובר. צריך לחשוב על משהו אחר אולי.

שיחה אישית

היום הייתה הפעם הראשונה שניסיתי את נשק השיחה האישית....
לפני השעור דיברתי עם תלמיד שעד כה לא הקשיב, דיבר כל הזמן וטרם הגיש את שיעורי הבית שלו ולו פעם אחת. בשיחה עצמה הרגשתי שהמאמץ נועד לכישלון, מן חוסר הקשבה מופגן - ואז החל השעור.
פתאום - תלמיד מספר אחד - משתתף, יודע, עונה על כל השאלות, תמיד בעמוד הנכון בספר. תענוג. בשעור העוקב נתתי שיעורי בית שמתחילים לעבוד עליהם בכיתה, אותו תלמיד, סיים אותם ראשון (להזכירכם זו הפעם הראשונה ששיעורי הבית בכלל הוגשו) - פשוט תענוג צרוף.
בהפסקה, ניצלתי את המומנטום ושוחחתי עם עוד שני תלמידים אך לצערי הרב לא היה את האפקט כמו בתלמיד הראשון ואני אאלץ להתקשר להורים כדי להמשיך הלאה עם הרגעת הרוחות.

בכיתה השניה, כיתה רגועה יחסית, הייתה דווקא המולה וזאת למרות שהמחנכת נכחה בכיתה לפרקים. למען האמת, עצה אחת טובה שקיבלתי היא שאני אפתור את התרגילים ולא אתן לתלמידים לפתור על הלוח (כלומר, להכתיב לי פתרון) - ככה יש פחות דיבורים. אימצתי.
אבל עדיין, המולה. חלק לא מבינים, חלק משועממים וחלק סתם מדברים. אפילו היה לי קשה להעניש כי לא היו מרעישים בולטים אם כי לקראת אמצע השעור השני עליתי על חלק מהמרעישים המצטיינים. אחרי הפוגה ברעש ושקט שבה יכולתי לשמוע את עצמי, אחת הבולטות אמרה משהו וההמולה חזרה - אז רשמתי אותה וכאשר היא שאלה לשם מה, עניתי: "כדי להרחיק אותך משיעורי המתמטיקה". היא התחילה לבכות. כאשר הסבו את תשומת ליבי לכך אמרתי שעד עכשיו היא הרעישה אז לא נורא אם היא עכשיו תבכה - רשע שכמותי.
כאשר עברנו לתרגול החופשי היא באה לדבר איתי ואמרתי לה שאם היא תפסיק להרעיש ותשתתף בשיעורים אני לא אנקוט נגדה שום צעד, מכיוון שזה היה לקראת סוף השעור עדיין לא בדקתי את רמת ההשפעה.
אז יש למה לחכות.

הנחיות להשלטת סדר

בחדר המורות נפגשתי עם רכזת שכבה ז'. היא שמעה שיש לי בעיות עם השקט בכיתה (צמד מילים שאצלי נתפס כסתירה). ואז היא אמרה לי שקודם כל אני צריך לבסס את הסמכות שלי בעצמי ולא דרך המחנכת. ארבעת השלבים להכניס תלמיד סורר למסלול הם:
א. שיחה אישית שבה אני מאיים על התלמיד שאם הוא לא יכנס לתלם אני אאלץ להוציא אותו משיעורי המתמטיקה.
ב. להתקשר להורי התלמיד ולידע אותם שהתלמיד מפריע ולא לומד.
ג. לשלוח מכתב להורי התלמיד עם העתק לתיק האישי שבו אני מאיים בהרחקה.
ד. הרחקה.

שיעור שקט ומוצלח

רכזת המתמטיקה נכנסה איתי לשיעור, בעצבים. "ילדים. המורה אומר לי שבכיתה הזו יש המון רעש והפרעות, אני רוצה לומר לכם שזה לחלוטין לא מקובל עלי אז אני אומרת לכם, אם מישהו יפריע מעתה והלאה אנחנו נתקשר להורים שלו ואם צריך נוציא אותו משיעורי המתמטיקה. אני רוצה להזכיר לכם שהמורה שלכם הוא אדם מבודר ואתם צריכים לתת לו כבוד." ונשארה בכיתה. היה שקט. דממה – כיף להעביר ככה שיעור.
בשיעור התרכזתי בהגדרה של מושגים מילוליים בביטויים מתמטים. בחבית אחת 15 ליטרים יותר מאשר בחבית שניה – זה עובר למשוואה: x – 15 = y, כאשר X זו החבית הראשונה ו Y השניה. כל השיעור על בעיה אחת כאשר עברתי על כעשרה תלמידים, המתקשים אבל חדורי המוטיבציה, עד שהם יבינו – והם הבינו. אחרי השיעור נגשו אלי כ 4-5 תלמידים ואמרו שהיה שיעור מצוין והם סופסוף הבינו. איזה כיף. ממש כיף.
אבל אליה וקוץ בה. רכזת המתמטיקה פנתה אלי אחרי השעור ואמרה שהיא מבינה למה יש לי רעש כל הזמן. אי אפשר להתמקד בבעיה אחת שיעור שלם – ילדים משתעממים. אומנם זו הפעם הראשונה שאני עושה את זה, אומנם מוקדי הרעש הם דווקא אלה שלא מבינים, אבל זו התיאוריה.
הערה נוספת, מוצלחת במיוחד שקיבלתי היא שדבר ראשון צריך לתת לילדים תמונה כוללת של הבעיה ולנסות לצייר אותה. נשמע רעיון טוב, אני אנסה אותו כאשר אני אגיע עם בעיות מילוליות לכיתה ז השניה שאני מלמד

Power to the people

זה היה היום הראשון שהגעתי לשעורים אחרי שבדקתי את שיעורי הבית וראיתי היכן הילדים מתקשים.
בכיתה ח' הבעיה העיקרית הייתה שילדים לא מצמצמים אלא משתמשים במחשבון כדי לפתור את השלב האחרון, למשל אז ניסיתי ללמד אותם איך מצמצמים.
התחלתי עם דוגמא פשוטה כמובן שכולם אמרו שזה ושיש חוק כזה, אבל אני כן התעקשתי לפתוח ל 3x3x3x3x3 במונה ו 3x3x3 במכנה ולצמצם. ואח"כ עוד 3-4 דוגמאות. הייתה תרעומת מצד התלמידים שאני סתם מאריך ומסבך.
אבל אז שאלתי אותם מה אפשר לעשות בתרגיל: ?
אף אחד לא ידע, היו ניסיונות מעניינים כמו ועוד אבל אף תשובה לא נכונה... הסתרתי את החזקות, ושאלתי מצטמצם? בוודאי השש והשלוש. או.קיי. אז במקום שש נכתוב שתיים כפול שלוש.
וכך זה נראה: ומה עושים עכשיו? ומכאן הם די ידעו לפתוח את הסוגריים ולצמצם את חזקות השלוש. מגניב. עוד 3-4 תרגילים על הלוח ונראה שהילדים מתחילים להבין את העסק.
נמשיך... ? מה עושים? ישר מישהו אמר שתשע זה שלוש כפול שלוש, אבל אני הצעתי שאולי נסתכל על תשע כשלוש בריבוע, כלומר, . הייתי צריך להסביר ש
אבל אח"כ הצמצום הלך חלק. עוד שלושה ארבעה תרגילים על הלוח וגם האופוזיציה הקשה ביותר לשיטות הארוכות שלי לעומת החוקים הקצרים (אך הלא מובנים) נמסה לחלוטין. ילדים רצו לפתור כמו שאני מציע והשמחה גדולה.

הקניה פרטית

אני ממש אובד עצות כרגע.
אמרו לי שהסיבה שיש רעש בלתי נסבל בכיתה היא שאני מקנה הרבה (כלומר מסביר הרבה מול הלוח) אז היום פתרתי תרגיל אחד על הלוח ואז נתתי להם תרגילים שהם אמורים להתחיל בכיתה ולסיים בבית - ואלו הם שיעורי הבית שלהם.
כך, חשבתי לעצמי, תהיה להם מוטיבציה לעשות את התרגילים בכיתה (במקום שיעורי בית), תהיה הקניה פרטית (כלומר, אני אעבור בין התלמידים ואעזור להם) ובא לציון גואל.
אז זהו שלא.
נכון שההקניה מול הלוח הייתה סיוט אבל זה היה קצר, תרגיל אחד שלקח רק עשרים דקות. אבל אז החלה ההקניה הפרטית - וזה לא פיקניק.
אם מדד הבלאגאן בהקניה מול הלוח הוא 10 אז בהקניה פרטית אנחנו מדברים על מדד של 100-200. ילדים צועקים, מסתובבים בכיתה, רבים (במשחק), משחקים כדורגל (בכיתה, כן בכיתה) והיו גם כאלה שפתרו ואני עזרתי להם אבל בסה"כ המולה רבתי. שעור חופשי עם מורה.

כאשר הערתי (וצעקתי) על תלמידים הטענה העיקרית שלהם הייתה שהם לא מבינים כלום - בעיות מילוליות. האמת צודקים.
לפי תוכנית הלימודים (כמו שאני הבנתי אותה לפחות) אחרי משוואות עוברים לבעיה מילולית.
הפשוטות: אם נוסיף למספר נתון מספר הגדול ממנו בשלוש נקבל 10. מצא את המספר.
ואח"כ המסובכות: גיל האב גדול פי ארבע מגיל הבן. בעוד שמונה שנים יהיה האב גדול פי 2.5 מגיל הבן. מצא את גיל האב והבן.
רוב הילדים נופלים בפארסינג של המשפט - בבניית הנוסחא ואפילו בשלב לפני, בהגדרת הביטויים. למשל, אם איקס הוא הבמספר הנתון מה הוא מספר הגדול ממנו בשמונה?
x-8, x*8, x+8?
ואח"כ לעבור למשפטים יותר מורכבים זו ממש משימה בלתי אפשרית.
מכיוון שהבנתי זאת רק בסוף השעור אז החלטתי שבשעור הבא אני אתרגל ביטויים ומשפטים מורכבים. אני מקווה שזה יעבור.


בהפסקה ניגשה אלי רכזת המתמטיקה בכיתות ז-ח ושאלה איך הולך. מן הסתם אמרתי לה שאני פשוט לא משתלט. אז היא אמרה: ללמד זו לא הבעיה, משמעת זה הקושי. האמת יש צדק בדבריה. אז בשעור הבא נלך עוד צעד ובמקום רישום של "הפרעה" ילדים שירשמו הוריהם יזומנו לשיחה. צפי הרכזת הוא שבשיעור הראשון יבואו עשרה, אח"כ חמישה, אח"כ אחד או שניים ואז הכיתה תירגע.
כולי תקווה

בעיות מילוליות עם בלגן

זה התחיל בשיחת הבהרה של המחנכת, אני והתלמידים - היו כמה תלונות די לא מוצדקות שהדפתי בקלות רבה וכמובן כאשר הם התלוננו שצריך להגיש שיעורים ואמרתי שאני רוצה לדעת מה אתם לא יודעים המחנכת אמרה להם שיש להם זכות שאני המורה שלהם.
אני בתמורה ביקשתי שקט והמחנכת הורתה להם להיות בשקט ויצאה.
זה החזיק 2-3 דקות.

בזמן שילדה אחת אספה את שיעורי הבית מכולם, לא מעט ילדים הרשו לעצמם לבוא אלי ולהסביר לי למה הם לא הכינו את שיעורי הבית והאחרים התחילו להסתובב בכיתה, לדבר, לצעוק, לזרוק דברים אחד על השני - בקיצור בלגן!
ניסיתי לעבוד איתם על בעיות מילוליות כלליות, בעיות שצריך להגדיר בהן את המשתנה. למשל, מחיר התפוזים גדול באחד ממחיר התפוחים, לקוח קנה 2 קילו תפוזים ושלושה קילו תפוחים ושילם 15 שקל. מה מחיר התפוחים והתפוזים.
התחלתי לפתור, יש פה כמה שלבים:
א. הגדרת המשתנה.
ב. הגדרת המשוואה.
ג. פתרון המשוואה.
ד. הפיתרון המילולי.
אחרי הגדרת המשוואה ברור שהיו הרבה שלא הבינו, הסברתי. אבל לא - כל אחד ואחת צריכים הסבר פרטי כי כאשר אני מסביר למישהו אחר זה לא נחשב - צריך להתייחס.
ובכלל נושא ההתייחסות. כולם רוצים לפתור, גם כאלה שבטוח יודעים, הם פשוט רוצים להראות שהם יודעים - העובדה שיש ילדים שעדיין לא הבינו לא מונעת מבעדם להמשיך ולדבר ולפתור את המשוואה. בקיצור, אף אחד לא שומע אף אחד והשמחה רבה.
בהפסקה באו אלי ילדים שלא הבינו והקדשתי את ההפסקה להסביר לכל אחד מהם באופן אישי - דווקא עכשיו הם הסכימו להקשיב לי למרות שהסברתי לילד אחר.
אחרי שהספקתי תרגיל אחד(!!!) בשעור של 45 דקות (תכננתי ארבעה) באמצע התרגיל השני עצרתי ואמרתי שאני מפסיק ללמד - פשוט רושם הפרעות. כך ש5-10 דקות פשוט רשמתי כ 15 ילדים שדיברו. היה שקט לזמן קצר.
נתתי שעורי בית והלכתי - די עצבני ומאוכזב. חרא של יום.
אני ממש לא יודע מה לעשות, אני ללא ספק אדבר עם המחנכת שתתן לי כלי הענשה חמורים - נמאס מהברדק הזה.

חוקי חזקות

כבר בדרך לכיתה תפסה אותי רכזת המתמטיקה ואמרה לי שאני צריך להתקדם יותר מהר וגם היו ילדים שהתלוננו שאנחנו כבר שלושה שיעורים באותו נושא.

ניסיתי להסביר את ההגיון מאחורי החוקים...
2,4,8,16,32
ואז הולכים שמאלה ומחלקים
התחלתי עם 2, אח"כ 3 - והיו ילדים שהבינו יפה וגם אמרו 1/27 ו 1/81 מהר למדי (כי בצד שני היה 27 ו 81).
ואז ניסיתי עם 2/3. כמובן שהיו כאלה שאמרו 4/3 אבל מהר מאוד הגיעו לסדרה הנכונה כלפי מעלה. ואז התחלנו לרדת 1, והייתה מי שאמרה אחד וחצי. למה?!?!?!
טוב, כפי שציפיתי יש בעיה מסויימת עם חלוקת שברים.
יאללה, איך פותרים 12:4? ארבע כפול מה שווה 12 - 3.
אז איך נפתור 1 : 2/3? מה כפול 2/3 שווה אחד - 3/2, כדי שיצטמצם.

ואז תרגילים.
צריך להתקדם.
למען האמת, הרוב ידעו - טוב, לפחות אלו שהשתתפו.
היו שניים בשורה הראשונה שכל הזמן אמרו" :אני לא מבינ/ה", "המורה הקודמת לא לימדה ככה", "איזה חוק חזקות אתה מפעיל כאן", "אני צריך מורה פרטי".
האמת - יצאתי בדיכאון, אבל ברטרוספקטיבה באמת מדובר בשניים (אולי שלושה) מתלוננים השאר הבינו די טוב, בייחוד ילדה אחת שרק עלתה הקבוצה ופשוט הבינה. כך שיש אפילו סיפוק מסויים.

משוואות עם שברים

אוו, זה נושא מסובך. לא מעט ילדים לא יבינו, אבל לא נורא, כמו שאמרה לי רכזת המתמטיקה: הם ילכו לשלוש יחידות. אז ככה, פתרון ביה"ס הוא:
א. למצוא את המכנה המשותף ולהכפיל בו.
ב. להגדיר את אגף האיקסים ואגף המספרים.
ג. להעביר את האיקסים לצד האיקסים ואת המספרים לצד המספרים.
ד. לחלק במקדם של איקס.
ה. להקיף את הפתרון בריבוע.
תמלא את החוקים ותקבל את מלוא הציון.

עברתי עם הילדים על שיעורי הבית והנה התרגיל הראשון:

אז ילדה אחת מציעה להכפיל ב 6. בסדר, התחלתי לכפול אבל אז מישהי מתפרצת: "לא נכון! צריך להכפיל במינוס 6".
אז עניתי את התשובה הכי לא צפויה: "אפשר לעשות מה שרוצים על שני צידי המשוואה כל עוד מבצעים את הפעולות נכון".
"מה אפשר להכפיל גם בשלוש?"
"כן"
"וגם בחצי מיליארד?!?!"
"כן"
שוק כללי.
עכשיו ממשיכים.
מתחילים לפתור את המשוואה קודם מכפילים ב 6 ומגיעים לפתרון, אח"כ מינוס שש וגם מכפילים בשלוש. הפלא ופלא - אותו פתרון.
ואז זה נקלט באורח פלא, עשינו הרבה תרגילים על הלוח, אף אחד לא פחד, הציעו, טעו, אבל כולם הגיעו לפתרון.
בשעור העוקב עם אותה כיתה הרבה הצליחו. הייתה ילדה שהכפילה יפה מאוד במכנה המשותף הנמוך ביותר, הייתה ילדה שחיברה שברים והיו כאלה שהכפילו פעמיים. פתרנו עוד תרגילים ובגדול כולם הבינו שהם יכולים לעשות מה שהם רוצים.
אופטימיות זהירה.