יום חמישי, 28 במאי 2009

שוד ושבר


היה לי שיעור עם חצי כיתה ח' (החצי השני היה בטיול שנתי) אחרי המבחן המסכם ולפני המיצ"ב. החלטתי ללמד משהו שיעזור להם במיצ"ב ובכלל בחיים – שברים. לקחתי מבני גורן של כיתות ז' את פרק החזרה על שברים (בכיתה ז' אמורים לחזור על החומר) וכתבתי על הלוח 30 שאלות. התרגיל הקשה ביותר נראה בערך כך:

אמור לקחת למישהו שלמד שברים ויודע את לוח הכפל בערך רבע שעה. אבל לא בבית ספרנו. לא בהקבצה א' בכיתה ח'. הטובים ביותר הצליחו במשך 45 דקות כחצי מהשאלות!!! הגרועים בקושי הצליחו שאלה אחת, רובם נפלו על שלבי הצמצום שהיו בשאלות. והגדילה לעשות ילדה אחת שאמרה: "מה אתה רוצה, אני אפילו לא יודעת את לוח הכפל". אין בושה.
אין לי הרבה מה להוסיף מעבר לנתונים היבשים – המצב על הפנים. יש לי עכשיו כשבועיים עד החופש הגדול וככל הנראה נתמקד בשברים, צמצום ודברים כאלה.

16 תגובות:

  1. כמה זמן ייקח לתלמידה (המעידה על עצמה כי אינה יודעת את לוח הכפל) ליישר קו עם תלמיד רגיל מכיתה ח', והאם יש לה בכלל סיכוי לעשות זאת?

    האם ניתן להעריך פחות או יותר באיזה כיתה מתחילה הבעיה?

    השבמחק
  2. הבת שלי, בכתה ד', החלה ללמוד שברים לפני שבועיים.
    אני מאד מקווה שבשנה הבאה היא תדע לפתור תרגילים מהסוג הזה.
    לגבי לוח הכפל, עשו להם במהלך השנה כל כך הרבה
    מבחנים בנושא, שקשה לי להבין איך שוכחים דבר שכזה
    עד כתה ח (אלא אם יש בעיה עם הבסיס).

    אתה אופטימי אם אתה חושב שתלמד שבועיים.
    קשה לי להאמין שהם ישתפו פעולה עד היום האחרון.
    הילדים חסרי סבלנות מתחילת חודש יוני.
    בהצלחה

    השבמחק
  3. אנונימי-
    אני מניח שתוך שבועיים שלושה ילדה אינטילגנטית למדי (הגיעה להקבצה א' בלי לדעת לוח כפל) יכולה לשלוט לגמרי.

    השבמחק
  4. האם בכלל אפשר לסמוך על כל שיטת ההקבצות בבי"ס אם ילדה שלא שולטת בפעולות מתמטיות אלמנטריות מגיעה להקבצה א'? איך בכלל קובעים את החלוקה להקבצות? האם בתוך ההקבצה עצמה הקבוצה היא הומוגנית מבחינת רמת הידע או שגם שם בעצם מתחלקים להרבה תתי רמות?

    אני מסכים שלא צריך להיות אינטליגנט גדול כדי לדעת לשלוט בלוח הכפל על בוריו, גם תוך 3 שעות.
    אבל הפער קיים בכל: לוח כפל, חילוק ארוך, חיבור וחיסור שברים, אחוזים, הנדסה... והיד עוד נטויה...
    השאלה שלי בעצם היא כיצד מורה בכיתה ח', יכול להתגבר על הפער העצום שכנראה קיים אצל חלק לא מבוטל מהתלמידים משנים קודמות.

    השבמחק
  5. והאם בכלל אפשרי לצפות ממנו לעשות דבר כזה?

    השבמחק
  6. חוזר הניגון של "לא יודעים את לוח הכפל" כאילו זה משהו בסיסי שחייבים לדעת.

    לעניות דעתי לזכור את לוח הכפל בעל פה זה מיותר לחלוטין. אני לא יודע את לוח הכפל ומעולם זה לא הפריע לי. כמובן שצריך לדעת איך להכפיל מספרים בראש. וזה לא ממש משנה אם זה 3 כפול 4 או 15 כפול 7.

    אני חושב שהדגש ששמים על לזכור בעל פה את לוח הכפל הוא רע בשני מובנים: ראשית הוא מחנך את הילדים לזכור בעל פה פתרונות ולא לחשב - כלומר לשנן תשובות ולא לחשוב - שזה אחד הנוהגים הנלוזים במקומותינו (ולא רק בחשבון אלא בכלל).
    שנית הוא משדר לתלמידים שלא מצליחים לזכור את לוח הכפל - שהם לא יודעים משהו בסיסי שכולם חייבים לדעת. וזה פוגע בדימוי שלהם סתם.

    לסיכום הייתי מוציא את לוח הכפל מתוכנית הלימודים. לא צריך לדעת את לוח הכפל. צריך לדעת להכפיל.

    השבמחק
  7. נו באמת... לא צריך לדעת את לוח הכפל? לזכור דברים בעל פה זה מיותר? כשאתה מצמצם שברים אתה לא מפתח כל פעם מחדש. פעם אחת עשית את הפיתוח, ראית/הוכחת שזה נכון וזהו. מעכשיו יש "חוקים" שאפשר להשתמש בהם אם רק זוכרים (וכדאי מאוד להבין). לדעת את לוח הכפל זה בסיסי ביותר. לוח הכפל הוא קיצור הדרך שלנו להרבה מאוד פעולות. ידיעתו מאפשרת מציאת מכנה משותף נמוך בין שברים, ביצוע םעולת חילוק ארוך במהירות סבירה והרשימה מתארכת וגדלה אקספוננציאלית.
    הערה אחרונה לסיום:
    אם כבר דיברנו על לוח הכפל ולא רק על עיקרון הלימוד/ידיעה בעל פה, אז אפשר להסתכל על לוח הכפל גם כאילו הוא הגדרת המבנה האלגברי של המספרים הטבעיים. זו תובנה מאוד מאוד חשובה במתמטיקה מתקדמת וידיעת הלוח בעל פה מאפשרת לפתח את התפיסה שניתן לתת תוצאה "שרירותית" לפעולה כלשהי ועדיין לקבל "סדר והגיון".

    השבמחק
  8. ל"אני"
    אני משוכנע שרוב הילדים ידעו לפתור תרגילים כאלו בכיתה ד' - הבעיה היא שימור הידע.
    אם מתייחסים אל שברים כאל "נושא", כלומר, למדנו, הצלחנו לפתור עכשיו עוזבים את זה אז אחרי ארבע שנים, מן הסתם שוכחים. כל הזמן צריך לתרגל באופן שכולל את כל החומר הנלמד עד כה.

    השבמחק
  9. לאנונימי:

    יש הבדל בין חוקים של צמצום שברים - כלומר מציאת מכנה משותף ובין לדעת בעל פה איך לצמצם את השבר 4/8 לדוגמא.

    לזכור בעל פה את לוח הכפל זה מיותר. לא הבנתי איזה חוקיות אתה מוצא בלוח הכפל. ואם אתה מוצא תלמד את החוקיות ולא את לוח הכפל.

    אם לוח הכפל הוא הגדרת המבנה האלגברי של המספרים הטבעיים אז טוב לדעת שהמספרים הטבעיים נגמרים בעשר או במאה - אם אתה לא כולל את שבע עשרה בין המספרים הטבעיים.

    המסקנה שלך היא מוטעית לחלוטין אבל אני מניח שזה צפוי ממישהו שמשנן את לוח הכפל ;-(

    גם לא הבנתי את הטיעון שזה מפתח את התפיסה שניתן לתת תוצאה שרירותית לפעולה כלשהיא ועדיין לקבל סדר והגיון. הילד שלי בן שנתיים והוא מסדר את הלגו שלו בכל מיני אופנים שרירותיים שאני לא מבין בהם אבל אני בטוח שהוא מוצא בהם סדר והגיון כי זה מאוד חשוב לו איך לסדר את החלקים. אז מבחינתך הוא פטור מלשנן את לוח הכפל?

    אני לא יודע את לוח הכפל בעל פה, ואין לי קושי מיוחד לפתור תרגילים מתימטיים.

    הטיעון היחידי שנתת שנראה איכשהוא רלוונטי כדי לזכור בעל פה את לוח הכפל הוא שזה מזרז את הפתרון של חלק מהתרגילים. אבל בוא נזכור שבחיים המהירות של הפתרון היא לא כל כך חשובה. משום מה בביהס נותנים למהירות הפתרון חשיבות הרבה יותר מדי גדולה.

    בנוסף כדאי למדוד כמה זמן זה מוסיף לתלמיד בפתרון של תרגילים שהוא נתקל בהם - ובהם הוא אינו יודע בעל פה את התשובה או חלק מהתשובה. יכול להיות שבסך הכל השינון של לוח הכפל רק מאט את מהירות הפתרונות.

    השבמחק
  10. פסקה פסקה...
    אני שמח שנתת את הדוגמא של צמצום השבר. על מנת לצמצם את 4/8 יש לדעת את לוח הכפל. ואם 4/8 נשמע טריוויאלי, אז בשביל 45/63 כבר מאוד כדאי לדעת.
    אגב, הפעולה נקראת מציאת מחלק משותף ולא מציאת מכנה משותף. מה שכן, בשתיהן ידיעת לוח הכפל עוזרת מאוד.

    לגבי החוקיות, אין זה מפתיע שלא הבנת בהתחשב בעובדה שאתה לא יודע את לוח הכפל העל פה.
    וקצת יותר לענין, זו בדיוק הנקודה. אנחנו נותנים ערך לפעולה בין שני איברים והיא לא חייבת לבטא חוק טבע או משהו כזה. זה כך כי כך קבענו/הגדרנו. במקרה זה חלק מהחוקיות מתבטא בזה שהתוצאה היא עדיין מספר טבעי ובנוסף a*b=b*a. זהו זה. גם זו חוקיות. אגב, למבנה הזה (עם עוד מעט מאוד תנאים) קוראים חבורה קומוטטיבית אם בא לך לקרוא על זה קצת.

    אנחנו לא לומדים את כל הלוח כי הוא "גדול" מדי. אבל לימוד ההתחלה שלו נותן תחושה ומאפשר ביצוע פעולות אחרות בין מספרים גדולים יותר ע"י רדוקציה.

    אם אתה טוען שיש עוד דרכים לפתח תפיסה כזו, או שאצל חלק מהאנשים היא מגיעה באופן טבעי, אני בהחלט מקבל את הטענה. אין זה אומר שמיותר לתת לזה ביטוי נוסף.
    לגבי הילד, אם הוא כבר יודע את לוח הכפל אז ורק אז הוא פטור מלשנן אותו (אבל אני מוכן לתת לו דחיה של כמה שנים...).

    לא ברור לי איך עושים חילוק ארוך מבלי לדעת את לוח הכפל וגם לא איך מוצאים מכנה משותף (נמוך) בשביל לחבר שברים. אני מתכוון איך עושים זאת בזמן סביר.

    בוודאי שהמהירות חשובה. אפילו חשובה מאוד. אתה יכול לחשוב לבד על דוגמאות.

    אפשר לבדוק אבל ברור לחלוטין שזה לא מאט.

    השבמחק
  11. אני מצליח לחלק 4/8 בלי לדעת את לוח הכפל.
    אפילו הצלחתי לעשות את התרגיל המתקדם 45/63 אבל לא מיד. קודם הבחנתי שהם מתחלקים בשלוש (שזה אגב לא חלק מלוח הכפל המשונן) ואחר כך שוב בשלוש. אז לקח לי שתי שניות יותר ממישהו שיודע בעל פה את לוח הכפל. אם אתה, או מורה כלשהו טוענים שאני צריך ללמוד בשביל זה את לוח הכפל אז תחשבו מחדש.

    למרות שאני כזה מוכשר, לא הצלחתי למצוא דוגמאות מהמציאות בהן היכולת להכפיל במהירות שני מספרים היא חשובה. אבל אני בטוח שתאיר את עיני.

    לגבי הטענה של החוקיות. אני לא מבין למה אתה נטפל ללוח הכפל. יש במציאות הרבה ערכים שנקבעו באופן שרירותי, הם מוגדרים בצורה כלשהיא, וניתן להגיד שהתוצאה מסודרת. כך לדוגמא את השפה. קצת יותר מורכב מלוח הכפל אבל הפלא ופלא גם ילדים שלא יודעים את לוח הכפל מצליחים לדבר.

    בואו נפסיק לצרוב בתודעה של ילדים שלא מסוגלים לזכור בעל פה כמה זה שש כפול שמונה, שמשהו בהם לא בסדר.

    השבמחק
  12. אתה מבלבל בין אמירה שלנו "לדעת" לבין "לשנן".
    כאשר אני אומר שילד לא יודע את לוח הכפל אני מתכוון ששואלים אותו כמה זה 7 כפול 4, בלי מחשבון, התשובה היא "לא יודע", לא "לא זוכר".
    מצידי שיחבר 7 ארבע פעמים אבל שידע!

    השבמחק
  13. אתה צודק, אלא שאני לא מבלבל. להיפך - אני מחדד את ההבחנה הזו. אני טוען שצריך לדעת להכפיל. שזה אומר לדעת לענות על השאלה של כמה זה 7 כפול 4. אבל לא צריך לדעת בעל פה את התשובה - שזה לדעת את לוח הכפל.

    זה לוקח טיפה יותר זמן. זה הכל.

    אני מנחש שהילדה שאמרה לך שהיא לא יודעת את לוח הכפל - כבר נכוותה בעבר כששאלו אותה כמה זה שש כפול שלוש והיא לא הצליחה לענות מיד או טעתה בתשובה, ואז המורה אמרה לה שהיא אפילו לא יודעת את לוח הכפל. והילדה עכשיו יודעת שיש לוח עם הרבה מספרים שכל הילדים בכיתה זוכרים והיא לא.

    הילדה לא אמרה לך "אני לא יודעת להכפיל". היא אמרה שהיא לא יודעת את לוח הכפל. אגב אני משער שבנוסף היא גם לא יודעת להכפיל, אבל העניין הוא שהיא רואה את לוח הכפל בתור חסם. איזה פרט בסיסי שאם היא לא יודעת אותו היא לא יכולה להיות טובה בחשבון. והיא אפילו אומרת לך את זה בתור טיעון שיסביר שאין לה סיכוי.

    היא צריכה לדעת איך לחשב את התוצאה. אם היא יודעת איך לחשב שמונה כפול שבע אז היא יכולה לזרוק את לוח הכפל לפח. אבל קודם כל היא צריכה לדעת שבכלל אפשר לחשב את התוצאה בלי לזכור אותה בעל פה.

    השבמחק
  14. לאץ
    הילדה הזו, כאשר שואלים אותה כמה זה 6 כפול 3 מוציאה מחשבון. בלעדיו היא דג מחוץ למים - זה לא השינון זו הקלות הבלתי נסבלת של המחשבון.
    מבחינת המורים זה נוח - "אפשר מחשבון, מקסימום אח"כ הם יסבלו, אבל לא במשמרת שלנו".
    יש חוק בבית הספר שאסור לדבר בטלפונים סלולרים בזמן השיעור - הגיוני. בשיעורים האחרונים שלי אמרתי לילדים: "אם אני טלפון סלולרי בחוץ אני מקווה שזה כדי לדבר איתו ולא להשתמש בו כמחשבון".

    השבמחק
  15. לא שכנעת אותי ששינון וידיעה של לוח הכפל הם מיותרים אבל הספיק לי מהויכוח הזה. הוא לא מתקדם.
    הילד שלי ידרש לדעת את לוח הכפל בעל פה ללא כל קשר לדרישות מערכת החינוך בישראל.

    השבמחק
  16. הילד צריך לדעת בעל-פה את לוח הכפל. אבל בלי לשנן.
    לפתור הרבה תרגילים עד שזה הופך אוטומטית.
    השינון לכשעצמו הוא בעייתי כי הוא חסר הבנה, סתם לזכור מאה מספרים - וגם זה לא נורא אם מישהו לא זוכר כמה זה 6X8 אבל יודע לשחזר את זה די מהר.

    השבמחק